4.2 导数的乘法与除法法则（课件+学案+练习，3份打包）北师大版（2019）选择性必修 第二册

4.2　导数的乘法与除法法则 [学习目标]　1.理解并掌握导数的乘法法则与除法法则.2.能利用导数公式和乘法法则与除法法则求函数的导数. 一、导数的乘法与除法法则及其简单应用 已知函数f(x)=x3，g(x)=x2. 问题1　[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x)成立吗？ 问题2　能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数？如何表示？ 问题3　对于其他函数还满足上述关系吗？ 知识梳理 导数的乘法与除法法则 (1)一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x)，则[f(x)g(x)]'=　　　　　　　　　　， '=，g(x)≠0. (2)特别地，[kf(x)]'=　　　　，k∈R. 例1　求下列函数的导数： (1)y=x3·sin x； (2)y=x2+xln x； (3)y=. 反思感悟　简单导数运算的注意点 (1)前提：基本初等函数的导数公式. (2)关键：理解并掌握求导法则. 跟踪训练1　求下列函数的导数： (1)y=4x(x-2)； (2)y=(log3x)·sin x； (3)y=. 二、求复杂函数的导数 例2　求下列函数的导数： (1)y=； (2)y=+. 反思感悟　利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式. (2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)y=(x2+1)(x-1)； (2)y=x·cos x-(ln x)·sin x. 三、与切线有关的问题 例3　(1)函数f(x)=的图象在(0，1)处的切线方程是 (　　) A.x+y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.x-y+1=0 (2)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. 反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同. 跟踪训练3　(1)曲线f(x)=-在点M处的切线的斜率为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B. C.- D. (2)曲线y=(x-1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积为　　　　. 1.知识清单： (1)导数的乘法与除法法则. (2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则. 1.设函数y=-2exsin x，则y'等于 (　　) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 2.函数y=的导数是 (　　) A. B. C. D. 3.已知曲线y=xex在点(1，e)处的切线与曲线y=aln x+2在点(1，2)处的切线平行，则a等于 (　　) A.1 B.2 C.e D.2e 4.已知f(x)=cos x，则f(π)+f'=　　　　. 答案精析 问题1　不成立.因为[f(x)·g(x)]'=(x5)'=5x4，而f'(x)·g'(x)=3x2·2x=6x3. 问题2　能.因为f'(x)=3x2，g'(x)=2x，[f(x)·g(x)]'=5x4，所以[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). 问题3　满足. 知识梳理 (1)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　(2)kf'(x) 例1　解　(1)y'=3x2sin x+x3cos x. (2)y'=(x2)'+(xln x)' =2x+(x)'ln x+x(ln x)' =2x+ln x+x· =2x+ln x+1. (3)y'== =. 跟踪训练1　解　(1)y'=(4x)'(x-2)+4x(x-2)' =4(x-2)+4x=8x-8. (2)y'=(log3x)'·sin x+(log3x)·(sin x)' =·sin x+(log3x)·cos x =+(log3x)·cos x. (3)y'= =. 例2　解　(1)y'= = =. (2)y=+ ==-2， ∴y'==. 跟踪训练2　解　(1)∵y=(x2+1)(x-1) =x3-x2+x-1， ∴y'=3x2-2x+1. (2)y'=(xcos x)'-[(ln x)·sin x]' =x'cos x+x·(cos x)'-[(ln x)'sin x+(ln x) ... ...