5 简单复合函数的求导法则（课件+学案+练习，3份打包）北师大版（2019）选择性必修 第二册

[学习目标]　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如y=f(ax+b)的导数). 一、复合函数的概念 问题1　函数y=(3x+2)2是由哪些函数复合成的？ 知识梳理 复合函数 一般地，对于两个函数　　　　和　　　　　　　　，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数　　　　和　　　　的复合函数，记作　　　　　，其中u为中间变量. 例1　函数y=sin(2x-1)如果看成复合函数y=f(φ(x))，下列式子正确的是 (　　) A.φ(x)=2x B.φ(x)=sin x C.φ(x)=2x-1 D.φ(x)=sin(2x-1) 反思感悟　判断复合函数的复合关系的一般方法 从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系.这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数. 跟踪训练1　(多选)下列哪些函数是复合函数 (　　) A.y=log2(2x+1) B.y=2x2- C.y=2ln x D.y=cos 二、求复合函数的导数 问题2　你能分别求出y=(3x+2)2，f(u)=u2，g(x)=3x+2的导数吗？ 问题3　问题2中导数有何关系？ 知识梳理 复合函数的求导法则 复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=　　　　，其中　　　　　. 例2　求下列函数的导数： (1)y=(4-3x)2； (2)y=cos； (3)y=ln(4x-1)； (4)y=e3x+2. 反思感悟　求复合函数的导数的步骤 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)y=； (2)y=5log2(1-x)； (3)y=sin. 三、复合函数的导数的应用 例3　(1)某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=，则在t=40 min时的降雨强度为 (　　) A.20 mm B.400 mm C. mm/min D. mm/min (2)曲线y=f(x)=esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，则直线l的方程为　　　　. 反思感悟　复合函数应用问题的注意点 (1)正确求导是关键. (2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标. (3)实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况. 跟踪训练3　(1)曲线y=cos在x=处的切线的斜率为(　　) A.2 B.-2 C. D.- (2)已知一质点的运动方程为s=ln(t2+1)+3t，其中位移s的单位为m，时间t的单位为s，则质点在第1 s末的瞬时速度为(　　) A.1 m/s B.2 m/s C.4 m/s D. m/s 1.知识清单： (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化. 1.(多选)下列哪些函数是复合函数 (　　) A.y=xln x B.y=(3x+6)2 C.y=eln x D.y=sin 2.已知f(x)=sin 2x+e2x，则f'(x)等于 (　　) A.2cos 2x+2e2x B.cos 2x+e2x C.2sin 2x+2e2x D.sin 2x+e2x 3.若f(x)=log3(2x-1)，则f'(2)=　　　　. 4.设曲线y=eax在点(0，1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　　　　. 答案精析 问题1　是由一次函数u=3x+2和二次函数y=u2复合而成的，即y=f(u)=(3x+2)2. 知识梳理 y=f(u)　u=φ(x)=ax+b　y=f(u)　u=φ(x) y=f(φ(x)) 例1　C　[y=sin(2x-1)是由函数y=sin u和u=2x-1复合而成，可见φ(x)=2x-1.] 跟踪训练1　ACD 问题2　y'=(9x2+12x+4)'=18x+12，f'(u)=2u，g'(x)=3. 问题3　y'=[f(g(x))]'=f'(u)·g'(x). 知识梳理 f'(u)φ'(x)　u=φ(x) 例2　解　(1)设y=u2，u=4-3x， 则y'u=2u，u'x=-3， 于是y'x=y'u·u'x=-6(4-3x)=18x-24， 即y'=18x-24. (2)设y=cos u，u=2x-， 则y'u=-sin u，u'x=2， 于是y'x=y'u·u'x=-2sin， 即y'=-2sin. (3)设y=ln u ... ...