6.3 函数的最值 [学习目标] 1.理解函数最值的概念，会求某闭区间上函数的最值.2.能利用导数求简单的含参函数的最值问题.3.能根据最值求参数的值或取值范围. 一、函数最值的概念 问题 如图为y=f(x)，x∈[a，b]的图象. (1)观察在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ (2)结合图象判断，函数y=f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ (3)函数y=f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 知识梳理 函数的最值点与最值 (1)最值点 ①最大值点：函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都 f(x0). ②最小值点：函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都 f(x0). (2)最值：函数的 与 统称为最值. (3)求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a，b)内的 ； ②将函数y=f(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 . 例1 如图是函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 反思感悟 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 跟踪训练1 (多选)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是 ( ) A.f(x)在区间(-1，1)上单调递增 B.x=-1是函数f(x)的极小值点 C.函数f(x)在x=1处取得最小值 D.f(x)的图象在x=2处的切线斜率小于零 二、求函数的最值 角度1 求不含参函数的最值 例2 求函数f(x)=2x3-12x，x∈[-2，3]的最值. 反思感悟 求函数在给定区间上的最值的注意事项 (1)对函数进行准确求导，并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值. 角度2 求含参函数的最值 例3 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0，+∞)上的最小值. 延伸探究 当a>0时，求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a，2a]上的最值. 反思感悟 含参函数的最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 跟踪训练2 (1)求函数f(x)=x+sin x，x∈[0，2π]的最值. (2)已知函数f(x)=x2，a∈R，求f(x)在区间[0，2]上的最大值. 三、由最值求参数的值或取值范围 例4 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，x∈[-1，2]的最大值为3，最小值为-29，求a，b的值. 反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或取值范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 跟踪训练3 已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 1.知识清单： (1)求不含参函数的最值. (2)求含参函数的最值. (3)根据最值求参数的值或取值范围. 2.方法归纳：转化法、分类讨论. 3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏. 1.下列结论正确的是 ( ) A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B. ... ...
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