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课件网) 8.6.3 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定 「学习目标」 1.通过学习二面角的有关概念及二面角大小的求法,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 2.在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中,发展数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养. 知识梳理 自主探究 项目 二面角 定义 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. 叫做二面角的棱, 叫做二面角的面. 如图,记作: 或 或 范围 [0,π] 「知识探究」 1.二面角 两个半平面 这条直线 这两个半平面 二面角α-l-β 二面角P-AB-Q 二面角P-l-Q 2.二面角的平面角 文字语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 于棱l的 OA和OB,则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角 图形语言 二面角的 大小与平 面角的 关系 二面角的大小可以用它的 来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是 的二面角叫做直二面角 范围 [0,π] 垂直 射线 ∠AOB 平面角 直角 3.平面与平面垂直 (1)定义 项目 平面与平面垂直 定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直,记作: 画法 通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直 直二面角 α⊥β (2)判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α, α⊥β 垂线 l β 师生互动 合作探究 探究点一 二面角的概念及求法 角度一 二面角概念的理解 [例1] 下列命题: ①两个相交平面组成的图形叫做二面角; ②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补; ③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② √ 解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以①错误,实质上它共有四个二面角;由a,b分别垂直于两个面,得a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③错误;由定义知④正确.故选B. 方法总结 二面角的理解 (1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角. (2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角的面上的角的联系与区别. (3)可利用实物模型,作图帮助判断. [针对训练] 自二面角棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有条件( ) A.AO⊥BO,AO α,BO β B.AO⊥l,BO⊥l C.AB⊥l,AO α,BO β D.AO⊥l,BO⊥l,且AO α,BO β √ 解析:根据题意,l是α与β平面的交线,则根据二面角的定义,若AO⊥l,BO⊥l,且AO α,BO β,则∠AOB为二面角的平面角.特别注意,l⊥平面AOB.故选D. 角度二 定义法求二面角的平面角 [例2] 已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值. 解:取CD中点O,连接AO,BO. 因为三棱锥A-BCD的各棱长均为2, 所以AO⊥CD,BO⊥CD. 所以∠AOB是二面角A-CD-B的平面角. 方法总结 定义法求二面角的平面角 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. [针对训练] 如图,四面体A-BCD中,AB=AC=2,DB=DC=2,设E为BC的中点.若∠BAC=60°,AD=3,求二面角B-AD-C的余弦值. 解:作BF⊥AD,连接CF,由题知,△ABD≌△ACD,所以CF⊥AD, 所以∠BFC为二面角 B-AD-C的平面角. 因为AB=AC,∠BAC=60°, 所以△ABC为正三角形,BC=AC=2. 由于AB=BD,且BF⊥AD, ... ...
