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课件网) 第1章 三角形的证明 3 线段的垂直平分线 第2课时 三角形三边的垂直平分线 导入新课 作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？ P 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等． 探究新知 探究 【三角形三条边垂直平分线的性质的证明】 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC. P A B C 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， P A B C ∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)． 同理，PB＝PC. ∴PA＝PB＝PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， 即边AC的垂直平分线经过点P. 探究新知 探究 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？ A1 D C B A a h ( ) D C B A a h A1 D C B A a h A1 解：可以画出无数个三角形 （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？ 解：已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个． C D A E B O F 注意：不是底边的垂直平分线上的任意一点都满足条件，底边的中点在底边上，此时不能构成三角形． (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？ 解：如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图. C A B D h h 探究新知 探究 已知：如图，线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h. a h 尺规做出等腰三角形 作法： （1）作线段 BC = a. （2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D. （3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h. （4）连接 AB，AC. △ABC为所求的等腰三角形. B C D A l 已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 做一做 A B C P 解：作法： 1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求 l 的垂线． l 如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流. 议一议 P ● B A 作法： (1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B. C D P ● (2)分别以A、B为圆心，大于R的长 为半径作圆，相交于C、D两点. (3)过两交点作直线 l ,此直线为 l 过P的垂线. 应用举例 例1 (1)若∠A＝35°，则∠BPC＝_____； 解：∵DP垂直平分AB， ∴AP＝BP， ∴∠A＝∠ABP， ∴∠ABP＝35°， ∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＝35°＋35°＝70°； A D P B C 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P. 例1 (2)若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△PBC的周长为_____cm. 解：∵AB＝AC＝5 cm，AC＝AP＋PC， ∴AP＋PC＝5 cm. ∵AP＝BP， ∴BP＋PC＝5 cm， ∴△PBC的周长为BP＋PC＋BC＝5＋3＝8(cm). A D P B C 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P. 例2 【分析】根据题意，要想将△ABC的面积四等分，需将线段BC四等分，因此在BC边上作三条垂直平分线即可． 如图，靠河边有一块三角形菜地，要分给甲、乙、丙、丁四家，为了分配合理，需要所分的面积相等，而且每家的菜地都要有靠河边的位置，便于取水浇地．你能想办法将菜地合理分配吗？(保留作图痕迹) A B C 如图所示，△ABD，△ADE，△AEF，△AFC就是分给甲、乙、丙、丁四家等面积且都 ... ...
