中小学教育资源及组卷应用平台 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 一、单选题 1．已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ） A．存在平面与直线垂直 B．四边形可能是正方形 C．不存在平面与直线平行 D．任意平面与平面垂直 二、多选题 5．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（ ） A． B． C． D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 6．已知直线过点，平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量可能是（ ）． A． B． C． D． 7．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ） A． B． C． 是平面 的一个法向量 D． 三、填空题 8．棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线的一个方向向量为 ． 9．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 10．如图，在直四棱柱中，∠ADC＝90°，且，平面ABCD，当平面时，DM＝ ． 11．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 . 四、解答题 12．如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且. (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 13．如图所示，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 14．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 15．如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角． (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 参考答案 1．A 由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 因为， 所以， 则， 所以，整理得：. 故选：A. 2．D 建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得. 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 3．C 建系，求平面的法向量，利用空间向量求点M的位置，进而可得结果. 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为∥平面，可知平面的法向量为， 设，可得， 可得，解得， 则，可得， 所以. 故选：C. 4．D 根据正方体的性质判断A，根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由，即可判断B，当为的中点时为的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D. 对于A：在正方体中平面， 显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误； 对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点， 由平面平面， 并且四点共面， 平面平面，平面平面， ∴， 同 ... ...
