1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 一、单选题 1．已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1上靠近点B1的四等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 8．已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 10．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面所成二面角的正弦值为 三、填空题 11．如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为 . 12．在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ． 13．三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值 ，若记直线与直线的所成角为，则的取值范围为 . 14．如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ． 四、解答题 15．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到面的距离． 16．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线到直线的距离； (3)求点到平面的距离． 17．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，线段AC上有两个动点E，F（顺序如图），且. (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与所成角的余弦值的取值范围； 18．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是、、的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由. 19．在斜三棱柱中，，，在底面上的射影恰为的中点，又已知. (1)证明：平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值 参考答案 1．D 以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答. 在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 2．D 将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 3．C 建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解. 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角 ... ...