8.2 多边形的内角和与外角和 课时学习目标 素养目标达成 1.了解多边形、正多边形以及相关的概念 几何直观 2.探索并掌握多边形的内角和与外角和,并能进行有关的计算和推理 模型观念、几何直观、推理能力 基础主干落实 九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 1.多边形及其相关概念 (1)多边形:一般地,由n条 不在同一直线上 的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形. (2)n边形的内角和为 (n-2)·180° . (3)对角线:连结多边形 不相邻 的两个顶点的线段. 1.如图所示,∠B的值为(D) A.85° B.95° C.105° D.115° 2.正多边形:各边都相等,并且各内角也都相等的多边形. 2.已知正多边形的一个内角是140°,则这个正多边形的边数是(A) A.九 B.八 C.七 D.六 3.任意多边形的外角和都为 360° . 3.若正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的边数是 六 . 重点典例研析 循道而行 方能致远 重点1多边形的内角和(模型观念、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P97练习T1拓展)在四边形ABCD中,∠A=80°,∠D=140°. (1)如图①,若∠B=∠C,求出∠B的度数; (2)如图②,若∠DCB的平分线交AB于点E,且EC∥AD,求出∠B的度数; (3)如图③,若∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,求出∠BEC的度数. 【自主解答】(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=80°,∠D=140°, ∴∠B+∠C=360°-∠A-∠D=360°-80°-140°=140°, ∵∠B=∠C,∴∠B=70°; (2)∵EC∥AD,∠A=80°,∠D=140°, ∴∠AEC=180°-∠A=100°,∠DCE=180°-∠D=40°, ∵CE平分∠DCB, ∴∠ECB=∠DCE=40°, ∵∠AEC=∠B+∠ECB, ∴∠B=∠AEC-∠ECB=100°-40°=60°; (3)∵∠A+∠ABC+∠DCB+∠D=360°,∠A=80°,∠D=140°, ∴∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D=360°-80°-140°=140°, ∵BE,CE分别平分∠ABC和∠DCB, ∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠DCB, ∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠DCB)=×140°=70°, ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-70°=110°. 【举一反三】 1.四边形ABCD中,∠A=80°,∠B=70°,∠C比∠D大30°,求∠D的度数. 【解析】∵∠C比∠D大30°, ∴∠C=∠D+30°, ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∠A=80°,∠B=70°, ∴80°+70°+∠D+30°+∠D=360°, 解得∠D=90°,∴∠D的度数为90°. 2.已知如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,求图中∠AED的值. 【解析】∵AB∥CD,∴∠C+∠B=180°, ∵五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°, ∴∠AED=540°-(∠A+∠D+∠C+∠B) =540°-(150°+160°+180°) =540°-490° =50°. 【技法点拨】 1.利用多边形的内角和公式(n-2)·180°,可已知边数求内角和,也可已知多边形的内角和求边数. 2.已知多边形内角和求边数时,一般是设出多边形的边数,根据多边形内角和公式列方程求解. 重点2 多边形的外角和(模型观念、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P99练习T1拓展)已知正x边形的内角和为1 080°,边长为2. (1)求正x边形的周长; (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°,求n的值. 【自主解答】(1)由题意可得180°×(x-2)=1 080°,解得x=8, ∴正x边形的周长为8×2=16; (2)正x边形每个内角的度数为1 080°÷8=135°,正n边形的每个外角的度数为135°-63°=72°,360°÷72°=5, ∴n的值为5. 【举一反三】 1.如图,在正五边形ABCDE中,过点C作CF⊥ED于点F,那么∠DCF的度数为 18° . 2.如图,小明从点A出发,前进10 m后向右转45°,再前进10 m后又向右转45°,…,如此反复下去,直到他第一次回到出发点A,他所走的路径构成了一个正多边形. (1)求小明一共走了多少米; (2)求这个正多边形的内角和. 【解析】(1)∵所经过的路线正好构成一个外角是45°的正多边形, ∴360°÷45°=8,8×10=80(m); ∴小明一共走了80 m; (2)根据题意得: (8-2)×180 ... ...
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