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课件网) 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 三角形内角和定理与三角形外角的性质是解决角的有关计算及推理论证问题时常使用的理论依据.利用三角形内角和与外角的性质解决不规则图形的角度问题时，可通过添加辅助线将不规则图形划分为几个三角形的拼接，解决与剪切或折叠有关的问题时，注意隐含条件. 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 类型一 利用三角形的外角和与内角和求角度 1. 如图，已知∠B=60°，∠C=20°，∠BDC=3∠A，求∠A 的度数． 解：如图，延长 CD 交 AB 于点 E． ∵∠BED=∠A+∠C， ∴∠BDC=∠B+∠BEC=∠B+∠A+∠C， 即 3∠A=60°+∠A+20°，∴∠A=40°． 2. 几何直观 如图，∠AOB=90°，点 C，D 分别在射线 OA，OB 上，CE 是∠ACD 的平分线，CE的反向延长线与∠CDO 的平分线交于点 F． （1）当∠OCD=50°时（如图 1），试求∠F 的度数； （2）当 C，D 在射线 OA，OB 上任意移动时（不与点 O 重合，如图 2），∠F 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F 的度数． 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 解：（1）∵△OCD 中，∠AOB=90°，∠OCD=50°， ∴∠CDO=180°-∠AOB-∠OCD=40°， ∠ACD=180°-∠OCD=130°． ∵CE 是∠ACD 的平分线，DF 是∠CDO 的平分线， ∴∠ECD= ∠ACD=65°，∠CDF= ∠CDO=20°． ∵∠ECD 是△CDF 的外角， ∴∠F=∠ECD-∠CDF=45°； 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 （2）∠F 的大小不变化.∵∠AOB=90°， ∴∠CDO=90°-∠OCD，∠ACD=180°-∠OCD． ∵CE 是∠ACD 的平分线，DF 是∠CDO 的平分线， ∴∠ECD= ∠ACD=90°- ∠OCD，∠CDF= ∠CDO=45°- ∠OCD． ∵∠ECD 是△CDF 的外角， ∴∠F=∠ECD-∠CDF=90°- ∠OCD-(45°- ∠OCD) =45°. 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 类型二 利用三角形内角和与外角和进行简单的证明 3. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AE 平分∠BAC，且∠ABC＞∠C．求证：∠DAE= （∠ABC-∠C）． 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 证明：∵AD⊥BC，∴∠D=90°. ∵∠ABC 是△ABD 的外角， ∴∠DAB=∠ABC-∠D=∠ABC-90°. 在△ABC 中，∠BAC=180°-∠ABC-∠C.∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAE= ∠BAC=90°- ∠ABC- ∠C.∵∠DAE=∠DAB+∠BAE， ∴∠DAE=∠ABC-90°+90°- ∠ABC- ∠C= ∠ABC- ∠C， 即∠DAE= （∠ABC-∠C）． 4. 较难题 在△ABC 中，∠C=90°，BD 是△ABC的角平分线，P 是射线 AC 上任意一点（不与A，D，C 三点重合），过点 P 作 PQ⊥AB，垂足为 Q，交直线 BD 于点 E． （1）如图 ，当 点 P 在 线 段 AC 上 时 ， 证 明 ：∠PDE=∠PED； （2）作∠CPQ 的平分线交直线 AB 于点 F，则PF 与 BD 有怎样的位置关系？ 画出图形并说明理由． 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 解：（1）证明：∵∠C=90°， ∴∠PDE=90°-∠CBD.∵PQ⊥AB，∴∠EQB=90°. ∴∠BEQ=90°-∠EBQ.∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠CBD=∠EBQ，∴∠PDE=∠BEQ.∵∠PED=∠BEQ，∴∠PDE=∠PED； （2）如图 1，当点 P 在线段 AC 上时，此时 PF∥BD. 理由：∵PF 为∠CPQ 的平分线，∴∠CPF=∠QPF= ∠CPQ. ∵∠CPQ=∠PDE+∠PED，∴∠PDE=∠PED= ∠CPQ. ∴∠CPF=∠PDE.∴PF∥BD； 专项二 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 如图 2， ... ...
