2.1.2 无理数 教案

中小学教育资源及组卷应用平台 2.1.2 无理数 ———新授课 一、教材分析 本节主要学习算术平方根的估算方法（如夹逼法），并引入无理数的概念。本节内容位于“实数”章节中，是衔接有理数与无理数的关键环节，为后续学习实数分类、根式运算及几何应用（如勾股定理）奠定基础。 二、学情分析 1.知识储备： 已掌握算术平方根的基本概念，但对非完全平方数的估算方法（如夹逼法）缺乏经验，且学生对“无限不循环小数”的理解较抽象，可能误认为所有小数都是分数。 2.能力水平：具备初步的代数计算能力，但估算技巧不足，难以灵活调整估算精度。 3.学习心理：对估算的繁琐步骤易失去耐心，对抽象概念（如无理数）感到困惑。 三、教学目标 1.掌握算术平方根的估算方法（夹逼法），能估算非完全平方数的近似值。 2.理解无理数的定义，能判断常见数是否属于无理数。 3.会用计算器求算术平方根。 4.感受数学估算的严谨性与灵活性，激发探索兴趣。 四、重点难点 重点:算术平方根的估算方法和理解“无限不循环小数”的本质特征。 难点:根据精度要求调整估算范围和从“无限不循环”特征理解无理数与有理数的区别别。 五、教学方法 讲授法、练习法、问答法 六、教学过程 一、问题导入 【问题】已知该正方形的面积为2，它的边长为多少？ ∵=2， ∴该正方形的边长为。 思考：是一个什么样的数呢？你能求出它的一个大致范围吗？ 二、探究新知 【思考】观察下列结果： 12 = 1， 22 = 4； 1.42 = 1.96 1.52 = 2.25 1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164 1 .414 =1.999396， 1.415 =2.002225; 1.4142 =1.99996164， 1.4143 =2.00024449; … … (1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围; (2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数 解：（1）由于12<2，2<22，所以1<<2. 由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5. 同理可得，1.41<<1.42， 1.414<<1.415，1.4142<<1.4143. （2）若将 写成一个小数，则由(1)可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数. 【定义】事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，从而它不是一个有理数.像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数. 无理数分为正无理数和负无理数. 【议一议】下面的说法正确吗 如果不正确，请说明理由. (1) 无限小数都是有理数； (2) 无理数都是无限小数； (3) 带根号的数都是无理数； (4) 无理数都是带根号的数. 解：(1) 不正确. 如π，是一个无限不循环小数，属于无理数； (2)正确.无理数都是无限不循环小数，无限循环小数是有理数； (3)不正确.如=2 属于有理数. (4)不正确.如π是无理数，它不带根号. 无理数的三种常见形式： 1.开方开不尽的数，如，，，。 2.含有π的一类数，如2π，π+1，。 3.以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如0.1010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 【牛刀小试】在3.14,,4π,,,0.12345…中,无理数有(　 ) A.2个　　　 B.3个　　　 C.4个　　　 D.5个 【思考】怎么用小数近似地表示一个无理数呢？ 例如π= 3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到π≈3.14，π≈3.142，…，我们称 3.14，3.142 分别是π的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值. 3.14，3.142 ，3.1416，... 都是 π 的近似值，称它们为近似数. 二、例题探究 例3 用计算器求下列各式的值. (1) ; (2) （精确到小数点后面第三位） 解：(1) 依次按键： 显示：32 所以=32 (2) 依次按键： 显示：2.828427125 所以≈2.828. 【做一做】成立吗？ 若不成立，请举例说明. 解：不成立，如所以. 归纳： 三、课堂练习 1.下列整数中，与 ... ...