2.7正方形 分层训练（含答案） 2024-2025学年数学湘教版八年级下册

2.7　正方形 知识点1　正方形的性质 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(B) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直平分 2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为　3　. 3.如图,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为　135　°. 4.(2024·怀化新晃县期中)如图,正方形ABCD中,BD为对角线,且BE为∠ABD的平分线,并交CD延长线于点E,则∠E=　22.5°　. 知识点2　正方形的判定 5.(2024·岳阳模拟)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是(C) A.BD=AB B.AC=AD C.∠ABC=90° D.OD=AC 6.(2024·永州新田县期中)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是(D) A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AB=BC时,它是菱形　 C.当AC⊥BD时,它是菱形　 D.当AC=BD时,它是正方形 7.(2024·长沙雨花区质检)已知,如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E,连接DE交AC于F. (1)试判断四边形ADCE的形状,并证明你的结论. (2)线段DF与AB有怎样的关系 请写出并证明你的结论. (3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形 简述你的理由. 【解析】(1)四边形ADCE为矩形.理由如下: ∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD, 又∵AN平分∠MAC,∴∠NAC=∠MAN, ∵∠NAC+∠MAN+∠BAD+∠CAD=180°,∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=×180°=90°,又CE⊥AN,AD⊥BC,∴∠ADC=∠AEC=90°,∴四边形ADCE为矩形; (2)DF∥AB,DF=AB, 理由是:∵四边形ADCE为矩形,对角线DE与AC相交于点F,∴F是AC的中点, ∵AB=AC,AD⊥BC,∴D是BC的中点, ∴DF为△ABC的中位线, ∴DF=AB,DF∥AB. (3)当∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形,理由如下: ∵∠BAC=90°且AB=AC,AD⊥BC, ∴∠CAD=∠BAC=45°,∠ADC=90°, ∴∠ACD=∠CAD=45°,∴AD=CD. ∵四边形ADCE为矩形, ∴矩形ADCE是正方形. 8.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为(C) A.80° B.90° C.105° D.115° 9.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点,若△CEF的周长为32,则OF的长为 　. 10.我们都知道,四边形具有不稳定性.老师制作了一个正方形教具用于课堂教学,数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变(如图),若正方形道具边长为10 cm,∠D'=30°,则四边形的面积减少了　50 cm2　. 11.(2024·长沙雨花区质检)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作射线OM,ON,分别交CD,BC于点E,F,且∠EOF=90°,连接EF给出下列结论: ①△COE≌△BOF;②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的;③EF平分 ∠OEC;④DE2+BF2=EF2. 其中正确的是　①②④　(填序号). 12.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF.连接DE,DF,BE,BF. (1)证明:△ADE≌△CBF; (2)若AB=4,AE=2,求四边形BEDF的周长. 【解析】(1)由正方形对角线平分每一组对角可知:∠DAE=∠BCF=45°, 在△ADE和△CBF中, ∴△ADE≌△CBF(SAS). (2)∵AB=AD=4, ∴BD===8, 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得:AC=BD=8,DO=BO=4,OA=OC=4, 又AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF, 即OE=OF=4-2=2, 故四边形BEDF为菱形. ∵∠DOE=90°, ∴DE===2. ∴4DE=8. 故四边形BEDF的周长为8. 13.已知:正方形ABCD,E是BC的中点,连接AE,过点B作射线BM交正方形的一边于点F,交AE于点O. (1)若BF⊥AE, ①求证:BF=AE; ②连接OD,确定OD与AB的数量关系,并证明; (2)若正方形的边长为4,且BF=AE,求BO的长. 【解析】(1)①∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠ABE=∠C=90°, ... ...