18.2.1矩形 学案（2课时，含答案）2024-2025学年数学人教版八年级下册

18.2　特殊的平行四边形 18.2.1　矩形 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念 2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论. 推理能力、模型观念 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是　直角　的平行四边形. (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是　直角　. ③对角线:对角线　相等　. 1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB=　140°　. (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD=　6　. 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.(2023·郴州中考)在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD=　5　. 重点典例研析　　启思凝智 教学相长 【重点1】矩形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P53例1拓展)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. (1)求证:BD=BE; (2)若∠DBC=30°,BO=1,求四边形ABED的面积. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,AB∥CD. ∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴AC=BE, ∴BD=BE. (2)∵在矩形ABCD中,BO=1, ∴BD=2BO=2×1=2, ∵∠DBC=30°, ∴∠BDC=90°-30°=60°, ∴△OCD是等边三角形. ∴CD=OD=1. ∴AB=CD=1,DE=CD+CE=CD+AB=1+1=2. 在Rt△BCD中,BC===, ∴四边形ABED的面积为(AB+DE)·BC=×(1+2)×=. 【举一反三】 (2023·台州中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为　2　. 【技法点拨】 矩形性质的三点应用 (1)证明线段平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等或求角的度数. (3)解决与全等有关的问题. 【重点2】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P61T9拓展) 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点N.点M是对角线BD的中点,连接AM,CM.已知AB=AC,AB⊥AC,∠BCD=90°,AM=CD. (1)求证:△ABM ≌△ACM; (2)若BC=4,求AN的长. 【自主解答】(1)∵点M是对角线BD的中点, ∴BM=DM, ∵∠BCD=90°, ∴BM=DM=CM, 又∵AB=AC,AM=AM, ∴△ABM ≌△ACM(SSS). (2)如图,延长AM交BC于E, ∵AB=AC,BM=CM, ∴AM垂直平分BC, ∴AE⊥BC, ∴∠AEB=90°, 又∵∠BCD=90°, ∴AM∥CD, ∵AM=CD, ∴四边形AMCD是平行四边形, ∴AN=AC, ∵AB⊥AC,AB=AC, ∴在Rt△ABC中,2AC2=BC2=42, ∴AC=2, ∴AN=×2=. 【举一反三】 1.(2023·德阳中考)如图,在△ABC中,∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,点F是AB边的中点,则DF=(A) A. B. C.2 D.1 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠B=30°,点E在BC上,且CE=AC,则∠CDE的大小为　75°　. 【技法点拨】 　直角三角形斜边上中线的性质及其拓展 (1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC. (2)拓展: ①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)矩形是特殊的平行四边形,下列性质中,矩形具有而平行四边形不一定具有的是(D) A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 2.(4分·运算能力、几何直观)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点D与点C被湖隔开,若AC=0.9 km,BC=1.2 km,则D,C两点间的距离为(B) A.0.6 km　 B.0.75 km　 C.1 km　 D.1.5 km 3.(4分·推理能力)如图,在矩形ABCD中,点O,M分别是AC,AD的中点,OM=3,OB=5,则AD的长为　8　. 4.(8分·几何直观、推理能力)(2024·陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE. 【证明】∵四边形ABCD为矩形, ∴ ... ...