1.3 线段的垂直平分线 分层训练（2课时，含答案） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

线段的垂直平分线(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　三角形三边垂直平分线的性质 1.如图,点P是AC,BC的垂直平分线的交点,则点P　在　AB的垂直平分线上.(填“在”或“不在”) 2.在△ABC中,AB=AC,O为不同于A的点,且OB=OC,则直线AO与底边BC的关系是　AO垂直平分BC　. 3.如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F,连接CM,CN.若AB=5,则△CMN的周长为　5　. 知识点2　有关线段垂直平分线的尺规作图 4.在△ABC的BC边上找一点P,使得PA+PC=BC.下面找法正确的是(D) A.以B为圆心,BA长为半径画弧,交BC于点P,点P为所求作 B.以C为圆心,CA长为半径画弧,交BC于点P,点P为所求作 C.作AC的垂直平分线交BC于点P,点P为所求作 D.作AB的垂直平分线交BC于点P,点P为所求作 5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=52°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和点D为圆心,大于AD的长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE交AB于点F,则∠ACF的度数是(C) A.24° B.26° C.14° D.18° 6.如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=2.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交边AB于点E.若BE=4,则AE的长为　2　. 【B层 能力进阶】 7.(2024·嘉兴模拟)对如图所示的△ABC进行以下操作:①以A,B为圆心,大于AB长为半径作圆弧,相交于点D,E,作直线DE;②以A,C为圆心,大于AC长为半径作圆弧,相交于点F,G,作直线FG.两直线DE,FG相交于△ABC外一点P,且分别交BC于点M,N.若∠MAN=50°,则∠MPN等于(B) A.60° B.65° C.70° D.75° 8.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于点O,过O作OD⊥BC,若OA=4,OD=3,则BC=　2　. 9.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】在平面内,到三点A,B,C距离相等的点有　0个或1个　. 10.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC边的垂直平分线MN经过点A. (1)求证:点A在CD的垂直平分线上; (2)若∠BCD=110°,求∠BAD. 【解析】(1)连接AC, ∵BC边的垂直平分线MN经过点A, ∴AB=AC. ∵AB=AD,∴AC=AD, ∴点A在CD的垂直平分线上. (2)∵AB=AC=AD, ∴∠ABC=∠ACB,∠ADC=∠ACD, ∴∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=∠BCD=110°,∴∠BAD=360°-(∠ABC+ ∠ADC)-∠BCD=360°-110°-110°=140°. 11.为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村,B村,C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,地理位置如图所示). (1)请你用尺规作图的方法确定点P的位置. 要求:不写已知、求作,只保留作图痕迹. (2)若两村之间的距离分别为AB=5 km,BC=5 km,AC=6 km,求医疗点P到B村的距离. 【解析】(1)如图: (2)连接AP,BC, 设AC的垂直平分线交AC为点D. ∵AB=BC,PD是CA的垂直平分线, ∴BD与PD在一条直线上. 由(1)得出AP=BP, ∵AB=5 km,BC=5 km,AC=6 km, ∴AD=3 km,BD==4(km), ∴AP2=(4-BP)2+AD2, 即AP2=(4-AP)2+32,解得AP= km, 则医疗点P到B村的距离BP= km. 【C层 创新挑战（选做）】 12.(几何直观、运算能力)在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N. (1)如图1,若∠B=32°,∠C=36°,则∠EAN=44°; (2)如图1,若∠BAC=108°,求∠EAN的度数; (3)如图2,若∠BAC=78°,求∠EAN的度数; (4)通过以上的探索过程,直接写出∠EAN的度数与∠B,∠C的关系. 【解析】(1)∵DE垂直平分AB, ∴EA=EB,∴∠B=∠EAB, 同理∠C=∠CAN, ∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=32°+36°=68°. ∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-68°=112°, ∴∠EAN=∠BAC-(∠EAB+∠CAN)=112°-68°=44°. (2)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,∴∠B=∠EAB, 同理∠C=∠CAN, ∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC, ∴∠EAN=∠BAC-(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°=2×108°-180°=36°. (3)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB, ∴∠B=∠EAB,同理∠C=∠CAN, ∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠ ... ...