5.2.1 古典概型 [学习目标] 结合具体实例理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率. 一、概率的概念 问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币,其正面向上的可能性有多大? 知识梳理 概率的概念 随机事件A发生的可能性的大小叫作随机事件A的概率,记作 . 二、古典概型的定义 问题2 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀的硬币试验及掷一枚质地均匀骰子的试验,它们的共同特征有哪些? 知识梳理 古典概型 (1)定义:设试验的样本空间Ω有n个样本点,且每个样本点发生的 .当Ω中的事件A包含了m个样本点时,称P(A)= 为事件A发生的概率,简称A的概率. 把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (2)特点: ①样本空间中只有 样本点; ②每个样本点出现的 . 例1 下列概率模型是古典概型吗?为什么? (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率; (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率; (3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率. 反思感悟 判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型. 跟踪训练1 (多选)下列是古典概型的是( ) A.从6名同学中,任选4人参加数学竞赛,甲同学被选中的概率 B.同时掷两枚骰子,点数和为7的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10个人随机站成一排,其中甲、乙相邻的概率 三、古典概型的概率计算 问题3 在掷骰子的试验中,记事件A为“点数为偶数”,事件A包含哪些样本点?事件A发生的概率是多少? 知识梳理 对于古典概型,事件A的概率计算公式为P(A)= . 例2 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的结果. (1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型; (2)求下列事件的概率: A=“两个点数之和是5”; B=“两个点数相等”; C=“ Ⅰ 号骰子的点数大于 Ⅱ 号骰子的点数”. 延伸探究 本例条件不变,求点数之和能被3整除的概率. 反思感悟 利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)=. 跟踪训练2 为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 . 四、概率的性质 问题4 通过对概率的认识,你认为任意事件A的概率的取值范围是怎样的?必然事件和不可能事件的概率是多少? 知识梳理 概率的性质 (1)由于事件A中的样本点个数总是小于或等于样本空间Ω中的样本点个数,因而根据古典概型的定义,可知任何事件的概率在 之间,即 . (2)必然事件包含Ω中的所有样本点,因而P(Ω)= . (3)不可能事件不包含任何样本点,因而P( )= . 我们将(1)(2)(3)统称概率的性质. 五、“放回”与“不放回”问题 例3 一个盒子里装有完全相同的10个小球,分别标上1,2,3,…,10这10个数字,现随机地抽取两个小球,如果(1)抽取是不放回的;(2)抽取是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率. 反思感悟 解决放回和不放回问题的两个注意点 (1)关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误. (2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等 ... ...