习题课 基本不等式的综合问题 ［学习目标］ 1.掌握利用基本不等式求最值的方法.2.能通过构造基本不等式的形式解决求代数式的最值问题. 一、巧用“1”的代换求最值 例1 已知x，y是正数且x+y=1，则+的最小值为 （ ） A. B. C.2 D.3 反思感悟 含有常数的条件最值问题的解决方法 把求解目标化为乘以1的形式，通过常数“1”的代换，展开之后使用基本不等式求最值. 跟踪训练1 已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则++的最小值为 . 二、消元法求最值 例2 若正实数a，b满足ab=a+b+3，则ab的最小值为 . 延伸探究 本例条件不变，求a+b的最小值. 反思感悟 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 跟踪训练2 若实数x，y满足xy+3x=3，则+的最小值为 . 三、换元法求最值 例3 若a，b，c都是正数，且a+b+c=2，则+的最小值是 （ ） A.2 B.3 C.4 D.6 反思感悟 换元法求最值时，可将分母或根式换成新的变量，再用基本不等式或函数求最值，特别注意新的变量的范围. 跟踪训练3 设a>0，b>0，a+b=5，求+的最大值. 1.知识清单： （1）巧用“1”的代换求最值. （2）消元法求最值. （3）换元法求最值. 2.方法归纳：消元法、换元法、常值代换法. 3.常见误区：在同一个题目多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否一致. 1.下列等式中最小值为4的是 （ ） A.y=x+ B.y=2t+ C.y=4t+（t>0） D.y=t+ 2.若正实数x，y满足xy+3x=3，则12x+y的最小值为 （ ） A.7 B.8 C.9 D.10 3.已知x>0，y>0，且+=1，若x+2y>2m-2恒成立，则实数m的取值范围是 . 4.若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值是 . 答案精析 例1 B ［由x+y=1得（x+2）+（y+1）=4， 即［（x+2）+（y+1）］=1， ∴+=·［（x+2）+（y+1）］ = ≥×（5+4）=， 当且仅当x=，y=时“=”成立.］ 跟踪训练1 36 解析 ∵正数x，y，z满足x+y+z=1， ∴++ =（x+y+z）=1+4+9++++++ ≥14+2+2+2=36， 当且仅当x=，y=，z=时取等号，故所求最小值为36. 例2 9 解析 ∵ab=a+b+3， ∴（a-1）·b=a+3. ∵a>0，b>0，∴a-1>0，即a>1， ∴b=， ∴ab=a·= = =（a-1）++5. ∵a>1，∴a-1+ ≥2=4， 当且仅当a-1=，即a=3时，取等号， 此时b=3，∴ab≥9. ∴ab的最小值为9. 延伸探究 解 ∵a>0，b>0， ab=a+b+3， ∴b（a-1）=a+3，∴a>1， ∴b=， ∴a+b=a+=a+ =a+1+ =a-1++2 ≥2+2=6. 当且仅当a-1=， 即a=3，b=3时，等号成立， 故a+b的最小值为6. 跟踪训练2 8 例3 B ［∵a，b，c∈R+， 令a+1=x>0，b+c=y>0， ∴a+b+c+1=x+y，即x+y=3. ∴+=+ =·（x+y） =≥×（5+4）=3，当且仅当x=2y，即a=1，b+c=1时取等号.］ 跟踪训练3 解 设=m，=n， ∴m>0，n>0，且m2+n2=a+b+4=9. 由（m+n）2=m2+n2+2mn ≤2（m2+n2）， 得（m+n）2≤18， ∴m+n≤3，当且仅当m=n=时，等号成立， 即+的最大值为3. 随堂演练 1.C 2.C 3.（-∞，5） 4.(
课件网) 第一章 <<< 习题课 基本不等式的综合问题 1.掌握利用基本不等式求最值的方法. 2.能通过构造基本不等式的形式解决求代数式的最值问题. 学习目标 一、巧用“1”的代换求最值 二、消元法求最值 随堂演练 三、换元法求最值 内容索引 课时对点练 一 巧用“1”的代换求最值 已知x,y是正数且x+y=1,则+的最小值为 A. B. C.2 D.3 例 1 √ 由x+y=1得(x+2)+(y+1)=4, 即[(x+2)+(y+1)]=1, ∴+=·[(x+2)+(y+1)]= ≥×(5+4)=, 当且仅当x=,y=时“=”成立. 反 思 感 悟 含有常数的条件最值问题的解决方法 把求解目标化为乘以1的形式,通过常数“1”的代 ... ...
