2.6.1 函数的单调性 学案（含答案） 2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修2

2.6.1 函数的单调性 【学习目标】 1.理解导数与函数的单调性的关系.(数学抽象、逻辑推理、直观想象) 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(数学抽象、逻辑推理) 3.会用导数求函数的单调区间.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.我们知道判断函数y=x2的单调性可以用定义法、图象法，对于函数y=x3-3x，如何判断它的单调性呢 2.对于可导函数f(x)，f(x)的单调性与它的导数有什么关系 3.如何利用导数求函数f(x)的单调区间 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则一定有f'(x)>0. (　　) (2)若 x∈(a，b)，f'(x)>0，则函数f(x)在(a，b)上单调递增. (　　) (3)若 x∈(a，b)，f'(x)=0，则函数f(x)在(a，b)上一定不单调. (　　) (4)已知f(x)是定义在R上的可导函数，若 x≥a，f(x)≥f(a)，则f'(a)≥0. (　　) 2.下列函数中，在(0，+∞)上单调递增的是(　　). A.y=sin x B.y=xex C.y=x3-x D.y=ln x-x 3.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　. 4.证明：函数f(x)=x+在(0，1]上单调递减. 【合作探究】 　求函数的单调区间 某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x2. 问题1：作出这个函数的图象，求出这个函数的导数y'，你能发现函数的单调性与导数的正负有什么关系吗 问题2：观察下面一些函数的图象，探究函数的单调性和导数正负的关系. 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： (1)若在某个区间上，函数y=f(x)的导数f'(x)>0，则在这个区间上，函数y=f(x)单调递增； (2)若在某个区间上，函数y=f(x)的导数f'(x)<0，则在这个区间上，函数y=f(x)单调递减； (3)若在某个区间上，f'(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y=f(x)单调递增；若在某个区间上，f'(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y=f(x)单调递减. 求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间. 【方法总结】先求f'(x)，再解不等式f'(x)>0和f'(x)<0，即可分别得到函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间. 求下列函数的单调区间： (1)f(x)=x+sin x，x∈(0，2π)；(2)f(x)=2x-ln x. 函数与其导数图象间的关系 问题1：结合函数图象，如何从导数的角度解释函数增减快慢的情况 问题2：若函数f(x)在(a，b)上满足f'(x)>0(或f'(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性 问题3：若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上单调递增(减)，则f'(x)满足什么条件 　　函数单调性与导数值大小的关系 一般地，设可导函数y=f(x)，在区间(a，b)内， (1)如果|f'(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化得越快，那么函数y=f(x)的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； (2)如果|f'(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化得越慢，那么函数y=f(x)的图象就比较“平缓”(向上或向下). 设f'(x)是函数f(x)的导数，y=f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是(　　). A B C D 【方法总结】依据函数y=f(x)的单调性与y=f'(x)函数值的正负之间的关系进行判断. 已知函数f(x)的导数f'(x)=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是(　　). A　 　　B　　　　　C　　　　　D 　含有参数的函数单调性问题 如图所示的S形公路，可近似地用函数f(x)=ax3+3x2-x+1(a≠0)来表示. 问题：如果f(x)在R上单调递减，求实数a的取值范围. 1.f(x)的解析式中含有参数，讨论f(x)的单调性时，应注意不等式f'(x)≥0(或f'(x)≤0)的解集与参数是否相关，相关时要分类讨论. 2.f(x)的解析式中含有参数，已知f(x)在定义域内单调递增(或减)，则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在f(x)的定义域内恒成立，有时借助数形结合法求解. 3.已知f(x)(f(x)的解析式中含有参数)在某区间上单调，求参 ... ...