2.6.2 函数的极值 学案（含答案） 2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修2

2.6.2 函数的极值 【学习目标】 1.了解函数极值的概念，会从几何直观角度理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.(数学抽象、逻辑推理、直观想象) 2.掌握函数极值的判定及求法.(逻辑推理、数学运算) 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.(数学抽象、逻辑推理) 【自主预习】 已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象如图所示. 1.函数f(x)在(a，x0)，(x0，b)上的单调性与导数的符号有何特点 2.观察y=f(x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点 它是极大值吗 3.函数值f(x0)在定义域内是最大的吗 4.函数y=g(x)在(a，b)上有极大值、极小值吗 5.结合教材的实例思考：函数的极大值一定大于极小值吗 在同一区间内极值点唯一吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)x=0是函数y=x3的极值点. (　　) (2)可导函数一定存在极值. (　　) (3)若f'(x0)=0，则x=x0是函数y=f(x)的极值点. (　　) (4)若x=x0是函数y=f(x)的极值点，则f'(x0)=0. (　　) 2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　). A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 3.设函数f(x)=xex，则(　　). A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 4.已知函数y=3x-x3+m的极大值为10，则m的值为　　　　. 【合作探究】 　求函数的极值 在必修课程中，我们已经研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大、哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题. 问题1：观察下图，函数y=f(x)在x=d，x=e，x=f，x=g，x=h，x=i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 问题2：y=f(x)在点x=d，x=e处的导数值是多少 问题3：在点x=d，x=e附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律 1.极值点与极值的概念 如图，函数y=f(x)在点a处的函数值f(a)比它在点a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0；而且在点a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫作函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y=f(x)的极小值. 函数y=f(x)在点b处的函数值f(b)比它在点b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0；而且在点b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫作函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 2.对极值概念的再理解 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值； (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值. 3.y=f(x)的极值点x0与f'(x0)=0的关系 一般来说，“f'(x0)=0”是“函数y=f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件. 若可导函数y=f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则f'(x0)=0；反之，若f'(x0)=0，则点x0不一定是函数y=f(x)的极值点.可导函数f(x)的极值点x0一定是导函数f'(x)的变号零点. 求函数y=3x3-x+1的极值. 【方法总结】　　首先对函数求导，然后求方程y'=0的根，最后检查y'在方程根左、右两侧的值的符号.如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值. 求下列函数的极值： (1)f(x)=x2e-x；(2)f(x)=. 　函数极值中的含参问题 已知函数f(x)=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3. 问题1：求a，b的值. 问题2：求函数f(x)的极小值. 1.利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极 ... ...