第二章 习题课 含参数的二次函数的单调性与最值（课件 学案 练习，共3份） 北师大版（2019）必修 第一册

习题课　含参数的二次函数的单调性与最值 ［学习目标］　能够利用二次函数的单调性解决求最值和参数范围问题. 一、利用单调性求参数的(值)范围 例1　（1）若函数f（x）=-x2-2（a+1）x+3在区间（-∞，3］上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　　　　. （2）已知函数f（x）= 若f（x）是R上的增函数，则实数a的取值范围为　　　　. 延伸探究　在本例（1）中，若函数f（x）=-x2-2（a+1）x+3的单调递增区间是（-∞，3］，则实数a的值为　　　　. 反思感悟　由二次函数的单调性求参数范围时需注意 （1）判断开口方向与对称轴的位置. （2）利用单调性确定参数满足的条件. 跟踪训练1　已知函数f（x）=x2-2ax-3在区间［1，2］上单调，求实数a的取值范围. 二、含参数的二次函数的单调性与最值 例2　已知f（x）=ax2-2x（0≤x≤1），求f（x）的最小值. 反思感悟　（1）闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. （2）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 跟踪训练2　设函数f（x）=x2-2x+2，x∈［t，t+1］，t∈R，求函数f（x）的最小值. 三、与最值有关的恒成立问题 例3　设函数f（x）=mx2-mx-1. （1）若对于一切实数x，f（x）<0恒成立，求m的取值范围； （2）对于x∈［1，3］，f（x）<-m+5恒成立，求m的取值范围. 跟踪训练3　已知ax2+x≤1对任意x∈（0，1］恒成立，求实数a的取值范围. 1.知识清单： （1）利用单调性求参数的（值）范围. （2）含参数的二次函数的单调性及最值. （3）与最值有关的恒成立问题. 2.方法归纳：换元法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：含参数的二次函数问题分类讨论不彻底. 1.已知函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在［4，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 （　　） A.（-∞，-3］ B.［-3，+∞） C.（-∞，5］ D.［5，+∞） 2.已知二次函数f（x）=x2-2ax+5的最小值为-4，则a等于 （　　） A.3 B.9 C.±3 D.±9 3.若函数y=x2-2x的定义域为［-1，m］，值域为［-1，3］，则实数m的取值范围是　　　　. 4.已知x2-x+a>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　　. 答案精析 例1　（1）（-∞，-4］ 解析　f（x）=-x2-2（a+1）x+3 =-（x+a+1）2+（a+1）2+3. 因此函数的单调递增区间为（-∞，-a-1］， 由f（x）在（-∞，3］上单调递增知3≤-a-1， 解得a≤-4，即实数a的取值范围为（-∞，-4］. （2）［4，8） 解析　因为f（x）是R上的增函数， 所以 解得4≤a<8. 延伸探究　-4 解析　f（x）=-x2-2（a+1）x+3 =-（x+a+1）2+（a+1）2+3. 因此函数的单调递增区间为 （-∞，-a-1］， 由题意得-a-1=3，a=-4. 跟踪训练1　解　函数f（x）=x2-2ax-3的图象开口向上，对称轴为直线x=a，画出草图如图所示.由图象可知函数在（-∞，a］和［a，+∞）上分别单调，因此要使函数f（x）在区间［1，2］上单调，只需a≤1或a≥2（其中当a≤1时，函数f（x）在区间［1，2］上单调递增；当a≥2时，函数f（x）在区间［1，2］上单调递减），从而a∈（-∞，1］∪［2，+∞）. 例2　解　（1）当a=0时，f（x）=-2x在［0，1］上单调递减， ∴f（x）min=f（1）=-2. （2）当a>0时，f（x）=ax2-2x的图象开口方向向上，且对称轴为x=. ①当≤1，即a≥1时，f（x）=ax2-2x图象的对称轴在［0，1］内， ∴f（x）在上单调递减，在上单调递增. ∴f（x）min=f=-=-. ②当>1，即0