１ . １ . ４ 等腰三角形(４) 旧知链接 (１) 在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ＝５ ｃｍ，你能增加一个条件，使它变为等边三角形吗 (２)在直角三角形中，如果一个锐角等于 ３０ °，那么它所对的直角边与斜边的关系是怎样的 (３) 等腰三角形的判定方法有哪些 新知速递 (１) 如 图 １-１-１０６ 所 示， 在 Ｒｔ △ＡＢＣ 中， ∠Ｃ ＝ ９０ °， ∠Ｂ ＝ ３０ °， ∠ＡＤＣ ＝ ６０ °， ＢＤ ＝ １０， 则 ＣＤ 的 长 是 . (２) 一个内角为 ６０°的等腰三角形的腰长为 ６ ｃｍ，它的周长为 ｃｍ . (３) 在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ， ∠Ｃ＝６０ °，若△ＡＢＣ 的周长为 ３０，则 ＡＢ ＝ . (４) 如 图 １-１-１０７ 所 示， Ｐ， Ｑ 是 △ＡＢＣ 的 边 ＢＣ 上 的 两 点， 且 ＢＰ ＝ ＰＱ ＝ ＱＣ ＝ ＡＰ ＝ ＡＱ， 则 ∠Ｂ ＝ ° . 图 １-１-１０６ 图 １-１-１０７ (１) 如图 １-１-１０８ 所示，在△ＡＢＣ 中， ∠ＢＡＣ＝９０ °，ＡＤ 是△ＡＢＣ 的高， ∠Ｃ＝３０ °，ＢＣ＝４，求 ＢＤ 的长. １ (２) 如图 １-１-１０９ 所示，ＡＤ∥ＢＣ，且 ＤＢ 平分∠ＡＤＣ. ①求证 :ＤＣ＝ＢＣ. ②如果∠Ｃ: ∠ＡＤＣ ＝１ : ２，求证 : △ＣＤＢ 是等边三角形. 图 １-１-１０８ 图 １-１-１０９ (３) 如图 １-１-１１０ 所示，在等边△ＡＢＣ 中， ∠ＡＢＣ， ∠ＡＣＢ 的平分线相交于点 Ｏ，作 ＢＯ， ＣＯ 的垂直平分线 分别交ＢＣ 于点 Ｅ 和点 Ｆ. 小明说:“Ｅ，Ｆ 是 ＢＣ 的三等分点. ”你同意他的说法吗 请说明理由. (４) 如图 １-１-１１１ 所示，在等边△ＡＢＣ 中，Ｄ，Ｅ，Ｆ 分别是各边上的一点，且 ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ. 求证 : △ＤＥＦ 是等边三角形. 图 １-１-１１０ 图 １-１-１１１ 基础训练 (１) 已知直角三角形一锐角是 ３０ °，斜边长是 ２，那么它的周长是( ) . Ａ . ３ (２) ①有两个角等于 ６０°的三角形 ②有一个角等于 ６０°的等腰三角形 ③三个外角( 每个顶点处各取一 个外角) 都相等的三角形 ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形. 以上三角形中，是等边三角形 的有( ) . ２ Ａ . ①②③ Ｂ . ①②④ Ｃ . ①③ Ｄ . ①②③④ (３) 等边△ＡＢＣ 的两条角平分线 ＢＤ 和 ＣＥ 交于点 Ｉ，则 ∠ＢＩＣ 等于( ) . Ａ . ６０ ° Ｂ . ９０ ° Ｃ . １２０ ° Ｄ . １５０ ° (４) 直角三角形中的一角为 ３０ °，此角的对边长是斜边长的 . (５) 如图 １-１-１１３ 所示，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ， ∠Ａ ＝６０ °，ＢＥ⊥ＡＣ 于 Ｅ，延长 ＢＣ 到 Ｄ，使 ＣＤ ＝ＣＥ，连接 ＤＥ. 若△ＡＢＣ 的周长是 ２４，则△ＢＤＥ 的周长是 . 拓展提高 (１) 如图 １-１-１１４ 所示， △ＡＢＣ 是等边三角形， 点 Ｄ 是 ＢＣ 边上任意一点，ＤＥ ⊥ＡＢ 于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ 于点 Ｆ. 若 ＢＣ＝４，则 ＢＥ ＋ＣＦ＝ . 图 １-１-１１４ 图 １-１-１１３ (２) 如图 １-１-１１５ 所示，在等边△ＡＢＣ 的边 ＢＣ 上任取一点 Ｄ，作 ∠ＡＤＥ ＝６０ °，ＤＥ 交 ∠ＡＣＢ 的外角平分 线于 Ｅ，则△ＡＤＥ 是 三角形. (３) 在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ＢＣ＝５， ∠Ｂ ＝６０ °，ＣＤ ＝７，则 ＡＤ 的取值范围是 . (４) 如图 １-１-１１６ 所示，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ， ∠ＢＡＣ ＝１２０ °，ＡＤ⊥ＡＣ 交 ＢＣ 于点 Ｄ， 求证 :ＢＣ＝３ＡＤ . 图 １-１-１１５ 图 １-１-１１６ 发散思维 (１) 如图 １-１-１１７ 所示， △ＡＢＣ 是等边三角形，分别延长 ＡＢ 至 Ｆ，延长 ＢＣ 至 Ｄ，延长 ＣＡ 至 Ｅ，使 ＡＦ ＝ ３ＡＢ，ＢＤ ＝３ＢＣ，ＣＥ＝３ＣＡ . 求证 : △ＤＥＦ 是等边三角形. (２) 如图 １-１-１１８ 所示， 已知点 Ｂ，Ｃ，Ｄ 在同一条直线上， △ＡＢＣ 和△ＣＤＥ ... ...
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