1-1 集合与常用逻辑用语 一、集合 (一)元素与集合 1.集合的含义 某些指定对象的部分或全体构成一个集合． 构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2.集合元素的特征 (1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． (2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． (3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3.元素与集合的关系 元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种． 4.集合的常用表示法 集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． 5.常用数集的表示 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R (二)集合间的基本关系 1.子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)． 2.真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A(或B)． 3.相等：若A B，且B A，则A＝B. 4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (三)集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A} (四)集合的运算性质 (1)交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A； (2)结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)； (3)分配律：(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)；(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)； (五)常用结论 1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n； 其真子集个数为2n－1； 其非空子集个数为2n－1； 其非空真子集个数为2n－2. 2.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3. U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； 4.A∪B＝A B A；A∩B＝B B A. 5.集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； 若已知的集合是点集，用数形结合法求解； 若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解. 二、充分条件、必要条件与充要条件 (一)充分条件、必要条件与充要条件的概念 1.若，则是的充分条件，是的必要条件； 2.若且，则是的充分不必要条件； 3.若且，则是的必要不充分条件； 4.若，则是的充要条件； 5.若且，则是的既不充分也不必要条件. (二)等价转化法判断充分条件、必要条件 1.若是的充分不必要条件是的充分不必要条件； 2.若是的必要不充分条件是的必要不充分条件； 3.若是的充要条件是的充要条件； 4.若是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件. (三)集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 1.若，则是的充分条件； 2.若，则是的必要条件； 3.若，则是的充分不必要条件； 4.若，则是的必要不充分条件； 5.若，则是的充要条件； 6.若且，则是的既不充分也不必要条件. (四)注意区别两种结构 1.若是的充分不必要条件且(标志性词：“是”，此时与正常顺序) 2.若的充分不必要条件是且(标志性词：“的”，此时与倒装顺序) 三、全称量词与存在量词 (一)概念： 1.全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 2.存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. (二)全称量词命题、存在量词命题及其否定 1.全称量词命题及其否定 (1)全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：命题p： x∈M，p(x). (2)全称量词命题的否定：p： x0∈M，p(x0). 2.存在量词命题及其否定 (1)存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：命题p： x0∈M，p(x0). (2)存在量词命题的否定：p： x∈M，p(x). (三)常用的正 ... ...
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