习题课 不等式恒成立与能成立问题 [学习目标] 1.了解解决不等式恒成立与能成立问题的方法.2.初步运用导数解决有关不等式恒成立与能成立问题． 一、不等式恒成立问题 例1 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)． (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围． 反思感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立 λ≥f(x)max；λ≤f(x)恒成立 λ≤f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可． (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数是否能取到端点值． 跟踪训练1 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c. (1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围； (2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围． 二、不等式能成立问题 例2 已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设g(x)＝f(x)－x，求证：g(x)≤－1； (3)设h(x)＝f(x)－x2＋2ax－4a2＋1，若存在x使得h(x)≥0，求a的最大值． 反思感悟 同恒成立问题类似，能成立问题一般也转化为最值问题，也可采用分离参数法进行转化，若存在x，使得λ≥f(x)成立 λ≥f(x)min；若存在x，使得λ≤f(x)成立 λ≤f(x)max. 跟踪训练2 已知函数f(x)＝xln x＋ax＋b(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若存在实数m，使得m2－m－1<在x∈时成立，求m的取值范围． 1．知识清单： (1)不等式恒成立问题． (2)不等式能成立问题． 2．方法归纳：转化法、分离参数法、分类讨论法． 3．常见误区：忽略分离参数后检验等号是否能成立. 习题课 不等式恒成立与能成立问题 例1 解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)， ∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1， 即h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m， 由g′(t)＝－3t2＋3＝0，解得t＝1或t＝－1(舍去)． 当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如表所示： t (0,1) 1 (1,2) g′(t) ＋ 0 － g(t) ↗ 1－m ↘ ∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m， h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立， 等价于g(t)<0对t∈(0,2)恒成立， 只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1. 故实数m的取值范围是(1，＋∞)． 跟踪训练1 解 (1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)， ∴当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(2,3]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， ∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c. 又f(3)＝9＋8c＞f(1)， ∴当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. ∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立， ∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9， ∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c， ∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9， ∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)． 例2 (1)解 因为f(x)＝，所以f′(x)＝. 令f′(x)>0，即1－ln x>0，解得0e， 所以f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，＋∞)． (2)证明 因为f(x)＝， 所以g(x)＝－x， 所以g′(x)＝－1＝， 令t(x)＝1－ln x－x2，则t′(x)＝－－2x<0， 所以t(x)＝1－ln x－x2是减函数， 因为t(1)＝1－ln 1－12＝0， 所以当x∈(0,1)时，t(x)>0，g′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，t(x)<0，g′(x)<0， 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．g(x)max＝g(1)＝－1＝－1， 所以g(x)≤g(1)＝－1. (3)解 因为f(x)＝， 所以h(x)＝－x2＋2ax－4a2＋1， ①当0≤a≤时，h(1)＝2a－4a2＝2a(1－2a)≥0，即存在1，使得h(1)≥0； ②当a> ... ...
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