1.1 复数的概念 课标要求 1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法. 【引入】 瑞士数学家欧拉于1777年,在《微分几何》一书中,第一次用i来表示-1的平方根,首创了用i作虚数的单位,为扩充数系作出较大贡献. 一、复数的概念 探究1 在有理数集内,求方程x2-2=0的根;在实数集内,求方程x2-2=0的根.从以上根的存在情况,你有何发现 _____ _____ _____ 探究2 一元二次方程x2=-1在实数集范围内的解是什么 _____ _____ _____ 【知识梳理】 形如 (其中a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示,即z= (a,b∈R),其中 称为复数z的实部,记作Re z, 称为复数z的虚部,记作Im z,规定i2=-1,i称为虚数单位. 温馨提示 (1)任何一个复数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i. (2)虚部是实数b而非bi. (3)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数的代数形式,否则不是代数形式. 例1 (1)复数i-i2的虚部为 ( ) A.0 B.1 C.i D.-2 (2)若复数z=a-2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等,则实数a= ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 _____ _____ _____ 思维升华 复数a+bi(a,b∈R)中,实数a和b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫作复数的虚部. 训练1 (1)若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为 ( ) A.-2 B. D.2 (2)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e为自然对数的底数,i为虚数单位,θ∈R)是瑞士著名数学家欧拉提出的,是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知,复数的虚部为 ( ) A.- i 二、复数的分类 探究3 复数7+i,2i,4分别对应复数a+bi(a,b∈R)中的a,b为何值,你有什么发现 _____ _____ _____ 【知识梳理】 复数a+bi(a,b∈R) 全体复数构成的集合称为复数集,记作 ,显然R C. 温馨提示 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图. 例2 (链接教材P180习题5-1A组T1)求实数m的值,使复数(m2-3m-4)+(m2-2m-3)i分别是(1)实数;(2)纯虚数;(3)零. _____ _____ _____ 迁移 将本题变为若复数(m2-3m-4)+(m2-2m-3)i<0,求实数m的值. _____ _____ _____ 思维升华 将复数化成代数形式z=a+bi(a,b∈R),根据复数的分类:当b=0时,z为实数;当b≠0时,z为虚数;特别地,当b≠0,a=0时,z为纯虚数. 训练2 (1)(多选)下列关于复数的说法正确的有 ( ) A.复数由实数与虚数构成 B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2n C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数 D.若a∈R且a≠0,则(a+3)i是纯虚数 (2)若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则 ( ) A.a=-1 B.a≠-1且a≠2 C.a≠-1 D.a≠2 三、复数相等的充要条件 探究4 根据实数相等的意义,猜想两个复数相等的条件是什么 _____ _____ _____ 【知识梳理】 两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等的定义为: 它们的实部相等且虚部相等,即a+bi=c+di,当且仅当 .应当注意,两个实数可以比较大小,但是两个复数,如果不全是实数,它们之间就不能比较大小,只能说相等或不相等. 温馨提示 (1)应用复数相等的充要条件时,应先将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式. (2)a+bi=0,a,b∈R的充要条件是a=b=0. 例3 (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值; (2)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值. _____ _____ _____ 思维升华 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,是复数问题实数化思想的体现. 训练3 (1)1+i=x+(y-1)i,x,y∈R,则x2+y2= ( ) A.2 B. D.5 (2)若关于x的方程(1+i)x2+2( ... ...
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