6.2 柱、锥、台的体积 课标要求 1.了解柱体、锥体、台体体积公式的推导过程. 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积. 3.熟悉台体与柱体、锥体之间的转换关系. 【引入】 青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长、穿越冻土里程最长的高原铁路. 假设青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫,路基的形状尺寸如图所示(单位:米),问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米 如何求得呢 让我们一起来探索吧! 一、柱体的体积 探究1 正方体和长方体的体积公式分别是什么 _____ _____ _____ 探究2 取一些书堆放在桌面上(如图所示),并改变它们的放置方法,观察改变前后的体积的变化 _____ _____ _____ 【知识梳理】 棱柱和圆柱的体积公式:V柱体= . 其中S为柱体的底面积,h为柱体的高. 温馨提示 同底等高任意柱体的体积相等. 例1 (链接教材P256习题6-6A组T3)若一个长方体的长、宽、高的比为3∶2∶1,对角线长是2 cm,求它的体积. _____ _____ _____ 思维升华 柱体体积的求法 (1)公式法. 求出底面积和高,运用公式求出体积. (2)记住特殊的柱体的体积公式. ①正方体的体积=棱长的立方; ②长方体的体积=长×宽×高. 训练1 (1)已知一个直四棱柱的高为2,其底面水平放置的直观图(斜二测画法)是边长为2的正方形,则这个直四棱柱的体积为 ( ) A.8 B.8 (2)一个长方体的三个面的面积分别为,,,则这个长方体的体积为 ( ) A.6 B. _____ _____ _____ 二、锥体的体积 探究3 三棱柱ABC-A1B1C1,可以分割成三棱锥C1-A1B1C,C1-A1BC和C1-ABC,它们三者的体积有何关系 _____ _____ _____ 【知识梳理】 棱锥和圆锥的体积公式:V锥体= . 其中S为锥体的底面积,h为锥体的高. 温馨提示 锥体的体积为同底等高柱体体积的倍. 例2 如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积. _____ _____ _____ 思维升华 棱锥、圆锥体积的求法 (1)公式法. (2)棱锥计算要注意运用特殊三角形. (3)圆锥体积的计算要充分运用轴截面,找出底面半径,母线和高的关系. 训练2 (1)将若干毫升水倒入足够大的底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6 cm,若将这些水倒入足够大的轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是 ( ) A.6 cm B.6 cm C.2 cm (2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点P在CC1上,且PC=CC1.设三棱锥A1-ABP的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则= . 三、台体的体积 探究4 如图,棱台ABCD-A1B1C1D1 的上、下底面积分别为S上、S下,高为h,试推导一下其体积公式. _____ _____ _____ 【知识梳理】 棱台和圆台的体积公式: V台体= . 其中S上、S下分别为台体的上、下底面积,h为台体的高. 温馨提示 例3 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库,已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,试求增加的水量(精确到0.1 m3,≈2.65). _____ _____ _____ 思维升华 台体体积公式是V=(S上+S下+)h,其中S上、S下分别表示台体的上、下底面面积.在求解相关量时,应充分利用台体中有关的直角梯形、直角三角形.另外,台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 训练3 (1)有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,已知它的两底面边长分别为60 cm和40 cm,则它的深度为 cm. (2)已知一个圆台的上、下底面半径之比为1∶2,母线长为2,母线与底面的夹角为45°,则这个圆台的体积为 . 四、不规则几何体或组合体的体积 例4 如图,在棱长为2的正方体中,点E,F分别是棱AB,A1B1的中点,试计算几何体A1D1F-AECD的体积. _____ _____ ... ...
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