6.3 球的表面积和体积 课标要求 1.能运用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题. 2.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”等几何问题. 【引入】 我国的空间站建设取得巨大成功,女航天员王亚平在试验舱内上了一堂生动有趣的太空课,其中水球演示实验非常神奇,即水在太空中的形状是个球,如何来求球的表面积与体积 本节课就来学习球的表面积与体积的求法. 一、球的表面积和体积 探究1 球也是旋转体,它是由什么平面图形旋转得到的 _____ _____ _____ 【知识梳理】 设球的半径为R (1)体积公式:V= , (2)表面积公式:S= . 温馨提示 球的表面积与半径的平方成正比,球的体积与半径的立方成正比,球的体积为球的表面积的倍. 例1 (链接教材P255例7)圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与容器内径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),求球的半径. _____ _____ _____ 思维升华 球的基本量是球的半径,由半径可以求出球的表面积和体积,反过来,由表面积和体积也可以求出球的半径,进而解决其他问题. 训练1 若两个球的半径相差1,表面积之差为28π,求它们的体积之和. _____ _____ _____ 二、球的截面问题 探究2 用任一平面去截球,截面是什么 _____ _____ _____ 【知识梳理】 用一个平面α去截半径为R的球O,若平面α经过球心O,则平面与球面的公共点显然都是共面的且到球心O的距离都为R,这说明过球心的平面截球面所得截线是以球心O为圆心的圆.当平面α不经过球心O时(如图),不防设OO'⊥α于点O',记OO'=d,对于平面与球面的任意一个公共点P,都满足OO'⊥O'P,所以O'P=为半径的圆. 球面被经过球心的平面截得的圆称为 ,被不经过球心的平面截得的圆称为球的 . 温馨提示 球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此不能用计算平面图形的面积的方法来计算其表面积,但是由球的表面积公式求得的值是准确的,而不是近似值. 例2 已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的半径. _____ _____ _____ 思维升华 解题时要注意借助球的半径R,截面圆的半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2. 训练2 (1)球心到过球面上A,B,C三点的截面的距离是球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的体积为 ( ) A. C. (2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π,则这两个截面间的距离为 ( ) A.1 B.7 C.1或7 D.8 三、与球有关的切、接问题 例3 (1)如图,已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,圆柱的表面积为54π,则球的体积为 ( ) A.27π B.36π C.54π D.108π (2)(链接教材P256习题6-6A组T4)已知一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2 cm,则这个球的体积为 cm3. _____ _____ _____ 思维升华 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略: (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如中心、对角线的中点等. (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面,把空间问题转化为平面问题来解决. 训练3 (1)表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为 ( ) A.4 π C.16π D.8π (2)已知正四面体A-BCD的外接球体积为8π,则这个四面体的表面积为 ( ) A.18 C.14 _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.半径为1的球的体积是 ( ) A.4π B. 2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为 ( ) A.R B.2R C.3R D.4R 3.若将棱长为4的一块正方体木料经过切割、打磨加工出一个体积最大的球,则这个球的体积是 . 4.正方体的内切球与其外接球的体积之比 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
