3.2 等比数列的前n项和（课件+学案+练习，共6份）北师大版（2019）选择性必修 第二册 第一章

第二课时　等比数列前n项和的性质 课标要求　1.了解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解决问题. 【引入】 前面我们利用类比的方法，由等差数列的性质，得到了等比数列的性质；通过类比，我们由等差数列前n项和的性质能得出等比数列前n项和的哪些性质？ 一、等比数列前n项和公式的函数特征 探究1 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特征，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝，则等比数列的前n项和公式Sn＝_____，即Sn是n的指数型函数.当q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝_____，Sn是n的正比例函数. 温馨提示　公比不为1的等比数列前n项和公式中qn的系数与常数项互为相反数. 例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等比数列. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 迁移1 若数列{an}为等比数列且其前n项和为Sn＝5×3n＋1＋2A，则实数A＝_____. _____ _____ _____ _____ 迁移2 若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a6＝_____. _____ _____ _____ _____ 思维升华　(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列. 训练1 (1)(多选)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋m(m∈R)，则(　　) A.m＝－1 B.等比数列{an}的公比为2 C.an＝2n D.a＋a＋…＋a＝ (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，则m＝_____. _____ _____ _____ _____ 二、等比数列前n项和的性质 探究2 利用等比数列求和公式进行推导，Sm，Sn，Sm＋n之间有什么等量关系？ _____ _____ _____ _____ 探究3 类比等差数列前n项和有关性质，在等比数列中你能发现Sk，S2k－Sk，S3k－S2k具有什么关系？ _____ _____ _____ _____ 探究4 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ _____ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 等比数列前n项和的“片段和”与“奇偶项”性质 1.“片段和”的性质 (1)数列{an}是公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成_____，且公比为_____. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋_____(n，m∈N＋). 2.“奇偶项”的性质 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝_____； (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). 温馨提示�———�片段和”性质(1)成立的条件：Sn≠0. 例2 (链接教材P33习题1－3 B组T2)(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. (2)一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用等比数列前n项和性质解决有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)在等比数列{an}中，若项数为偶数，则有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇；若项数为奇数，则有S奇＝a1＋qS偶和Sn＝S偶＋S奇. 训练2 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 (2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为_____，项数为_____. ... ...