4.2 导数的乘法与除法法则（课件+学案+练习，共3份）北师大版（2019）选择性必修 第二册 第二章

4.2　导数的乘法与除法法则 课标要求　1.理解并掌握导数的乘法法则与除法法则. 2.能利用导数公式和乘法法则与除法法则求函数的导数. 【引入】 我们前面学习了导数的加法与减法法则，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的积、商的导数呢？与加法、减法法则类似吗？ 一、导数的乘法与除法法则及其简单应用 探究1 若函数f(x)＝x3，g(x)＝x2，那么[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？′＝成立吗？ _____ _____ _____ 探究2 能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)g(x)的导数？如何表示？对于其他函数还满足上述关系吗？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 导数的乘法与除法法则 一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则 [f(x)g(x)]′＝_____ ′＝_____， 特别地[kf(x)]′＝_____，k∈R. 温馨提示　(1)f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和. (2)的导数分子是f′(x)g(x)与f(x)·g′(x)之差，分母是g(x)的平方. 例1 (链接教材P70例3，例4)求下列函数的导数： (1)y＝4x(x－2)； (2)y＝(log3x)·sin x； (3)y＝. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　简单导数运算的特点：一熟练运用导数公式；二理解并掌握函数的乘法与除法的求导法则. 训练1 求下列函数的导数： (1)y＝sin x；(2)y＝xtan x；(3)y＝；(4)y＝. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 二、求复杂函数的导数 例2 (链接教材P71例5)求下列函数的导数： (1)y＝x2(ln x＋sin x)；(2)y＝＋. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪些函数组合成的，确定求导法则，基本公式. (2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 训练2 求下列函数的导数： (1)f(x)＝；(2)y＝x2sin x＋；(3)y＝＋x2cos x＋3. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、与切线有关的问题 例3 (1)(链接教材P72例6)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝(　　) A.1 B.2 C.e D.2e (2)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　) A. B. C.1 D.2 _____ _____ 思维升华　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清“在某点”和“过某点”切线的不同. 训练3 (1)函数f(x)＝的图象在点(0，1)处的切线方程是(　　) A.x＋y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x－y＋1＝0 D.x－y＋1＝0 (2)曲线y＝(x－1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积为_____. 【课堂达标】 1.函数y＝cos x的导数为(　　) A.y′＝2cos x－sin x B.y′＝－sin x C.y′＝－sin x D.y′＝－sin x 2.已知f(x)＝f′(1)＋xln x，则f(e)＝(　　) A.1＋e B.e C.2＋e D.3 3.曲线f(x)＝excos x＋1在x＝0处的切线方程为_____. 4.已知f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝_____. 4.2　导数的乘法与除法法则 探究1　提示　不成立.∵f(x)g(x)＝x5， ∴[f(x)g(x)]′＝5x4， 而f′(x)g′(x)＝3x2·2x＝6x3， ∴[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x). ∵′＝(x)′＝1，＝x， ∴′≠. 探究2　提示　[f(x)g(x)]′＝5x4＝3x4＋2x4 ＝3x2·x2＋x3·2x ＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， ∴[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，对于其他函数也满足. 知识 ... ...