5 简单复合函数的求导法则（课件+学案+练习，共3份）北师大版（2019）选择性必修 第二册 第二章

§5　简单复合函数的求导法则 课标要求　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则，对简单的复合函数求导(仅限于形如y＝f(ax＋b)的函数). 【引入】 法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”.我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？ 一、求复合函数的导数 探究1 海上一艘游轮发生了泄漏事故，泄出的原油在海面上形成了一个圆形的油膜，油膜的面积S(单位：m2)与油膜的半径r(单位：m)的函数关系式为：S＝f(r)＝πr2；油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数关系式为：r＝φ(t)＝2t＋1，你能写出油膜的面积S关于时间t的函数关系式吗？ _____ _____ _____ 探究2 油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？与S＝f(r)＝πr2，r＝φ(t)＝2t＋1的导数有何关系？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的_____，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量. 2.复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为 yx′＝[f(φ(x))]′＝_____，其中u＝φ(x). 温馨提示　求导由外向内，并保持外层求导、内层不变的原则. 例1 (链接教材P75例1，例2)求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝log2(2x＋1)；(3)y＝e3x＋2；(4)y＝sin. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 训练1 求下列函数的导数： (1)y＝(4－3x)2；(2)y＝cos；(3)y＝ln(4x－1)；(4)y＝102x＋3. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 二、复合函数的导数的应用 例2 (链接教材P75例3)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现了导数揭示物体在某时刻的变化状况. 训练2 (1)某铁球在0 ℃时，半径为1 dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为t ℃时铁球的半径为(1＋at)dm，其中a为常数，则在t＝0时铁球体积对温度的瞬时变化率为(参考公式： V＝πR3)(　　) A.0 B.πa C.πa D.4πa (2)科学家经过长期监测，发现在某一时间内，某物种的种群数量Q可以近似看作时间t的函数，记作Q(t)，其瞬时变化率Q′(t)和Q(t)的关系为Q′(t)＝kQ(t)，其中k为常数.在下列选项所给函数中，Q(t)可能是(　　) A.Q(t)＝e－0.2t B.Q(t)＝0.2sin t C.Q(t)＝2ln(t＋2) D.Q(t)＝6(t＋1)－1 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 2.曲线y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为(　　) A.2x－y－3＝0 B.2x＋y－3＝0 C.ex－y－2e＋1＝0 D.ex＋y＋2e－1＝0 3.已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为_____. 4.已知f(x)＝，且f′(1)＝1，则a的值为_____. §5　简单复合函数的求导法则 探究1　提示　S＝f(φ(t))＝π(2t＋1)2. 探究2　提示　油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是S′(t)＝4π(2t＋ ... ...