培优课　直线系方程与对称问题（课件+学案+练习，共3份）北师大版（2019） 选择性必修 第一册 第一章

培优课　直线系方程与对称问题 课标要求　1.熟悉常见的直线系方程，能运用直线系方程简化运算; 2.掌握对称原理，能解决常见的对称问题. 一、直线系方程的应用 例1 求证:无论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标. 思维升华　求直线过的定点的常用方法 (1)将直线方程化为y-y0=k(x-x0)的形式，则直线过定点(x0，y0). (2)应用分离参数的方法，将直线方程化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0，由求出定点坐标. (3)特殊值法，对方程中的参数赋两个不同的特殊值，可得到关于x，y的两个方程，解得x，y的值，即得定点坐标(x，y). 训练1 (1)若直线kx-y+1=3k，当k变动时，则直线kx-y+1=3k恒过定点 (　　) A.(0，0) B.(0，1) C.(3，1) D.(2，1) (2)不论m为何值，直线3(m-1)x+2(m+1)y-12=0过定点 (　　) A. B.(2，3) C.(-2，3) D.(2，0) 二、几类常见的对称问题 例2 (1)求直线3x-y-4=0关于点P(2，-1)对称的直线l的方程. (2)(链接教材P26习题1-1 B组T7)已知直线l1:x-y+3=0，直线l:x-y-1=0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程. 思维升华　(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P'(2a-x，2b-y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0，y0)，l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件:①PQ⊥l;②PQ的中点在l上来求得. (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 训练2 已知直线l:x+2y-2=0，试求: (1)点P(-2，-1)关于直线l的对称点的坐标; (2)直线l1:x-y-2=0关于直线l对称的直线l2的方程; (3)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程. 三、利用对称解决最值问题 例3 在直线l:x-y-1=0上求两点P，Q.使得: (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大; (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小. 思维升华　1.在直线l上求一点P，使P到两个定点的距离之和最小 (1)当两定点A，B在直线l的异侧时，由“两点之间线段最短”及“三角形中任意两边之和大于第三边”可知，当P为直线AB与l的交点时，点P到两定点的距离之和最小，最小值为|AB|.如图①，在直线l上任取一点P'，则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|. (2)当两定点A，B在直线l的同侧时，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时点P到两定点A，B的距离之和最小，最小值为|A'B|.如图②，在直线l上任取一点P'，则|P'A|+|P'B|≥|A'B|=|PA|+|PB|. 2.在直线l上求一点P，使点P到两定点的距离之差的绝对值最大 (1)当两定点A，B在直线l的同侧时(A，B连线与l不平行)，连接BA并延长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为|AB|.如图③，在直线l上任取一点P'，则有||P'B|-|P'A||≤|AB|=||PB|-|PA||. (2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'并延长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为|A'B|.如图④，在直线l上任取一点P'，则有||P'B|-|P'A||≤|A'B|=||PB|-|PA||. 训练3 已知两点A(2，3)，B(4，1)，在直线l:x+2y-2=0上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小. 【课堂达标】 1.不论m为何实数，直线l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点 (　　) A.(-3，-1) B.(-2，-1) C.(-3，1) D.(-2，1) 2.点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标是 (　　) A.(-1，-3) B.(17，-9) C.(-1，3) D.(-17，9) 3.已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为　　　　　　. 4.已知直线l:y=2x+3，点M(1，0)，则直线l关于点M对称的直线的方程为　　　　 ... ...