4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（课件+学案+练习，共3份） 北师大版（2019）选择性必修 第一册 第二章

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 课标要求　1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系. 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题. 【引入】 直线与圆相交求弦长，一般用弦心距结合勾股定理解决，也可求出交点坐标直接利用公式求两交点间的距离，当弦所在直线斜率存在且不为零时，还可以用弦长公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|求解，那么如何求圆锥曲线的弦长呢 一、圆锥曲线的弦长公式 探究 已知直线l:y=kx+m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示. 【知识梳理】 圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=·|x1-x2|=　　　　　　　　=·|y1-y2|=　　　　　　　　. 温馨提示　(1)对于斜率不确定时，需讨论斜率存在或不存在两种情况. (2)利用弦长公式的前提条件是直线与圆锥曲线相交且有两个交点(即满足Δ>0). 例1 若直线y=x-1与双曲线x2-=1相交于A，B两点，求|AB|. 思维升华　求弦长的两种方法 (1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解， (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式求解，注意隐含条件Δ>0，另外对抛物线y2=2px(p>0)过焦点的弦长，用|AB|=x1+x2+p更为简单. 训练1 (1)已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，则|AB|=　　　　. (2)已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|AB|=3，则m的值为　　　　. 二、圆锥曲线的中点弦问题 例2 已知双曲线方程为3x2-y2=3. (1)求以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线方程; (2)以定点B(1，1)为中点的弦存在吗 若存在，求出其所在的直线方程;若不存在，请说明理由. 思维升华　(1)若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1+x2，y1+y2，x1-x2，y1-y2，从而建立中点坐标和斜率的关系. (2)常用结论 ①对于椭圆+=1(a>b>0)，弦AB(不过原点，且不垂直于坐标轴)的中点M(x0，y0)，则有kAB·kOM=-=e2-1. ②对于双曲线-=0(a>0，b>0)，弦AB(不过原点，且不垂直于坐标轴)的中点为M(x0，y0)，则有kAB·kOM==e2-1. ③对于抛物线y2=2px(p>0)，弦AB(不垂直于坐标轴)的中点为M(x0，y0)，则有kAB=. 训练2 (1)直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于 (　　) A.2或-2 B.-1 C.2 D.3 (2)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭圆E的离心率为 (　　) A. B. C. D. 三、圆锥曲线弦长的最值(范围)问题 例3 (链接教材P81例6)过椭圆C:+=1的中心的直线l交C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 思维升华　求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法:利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法:利用数与形的结合，挖掘几何特性，进而求解. (3)函数法:探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解. 训练3 (1)(链接教材P83练习T2)直线l经过原点且交椭圆+=1于M，N两点，则|MN|的最大值为　　　　;此时直线l的方程为　　　　. (2)(链接教材P90复习题二C组T3)直线l:mx-y+1=0与椭圆C:+y2=1交于A，B两点，则|AB|的最大值为　　　　. 【课堂达标】 1.已知等轴双曲线(实轴长等于虚轴长)的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y=x交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线的方程为 (　　) A.x2-y2=6 B.x2-y2=9 C.x2-y2=16 D.x2-y2=25 2.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为 (　　) A. B. C. D. 3.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|的长为　　　　. 4.过点(1，0)作斜率为-2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为　　　　. 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 探究　提示　|AB|= =|x1-x2|(x1≠x2) =. ... ...