安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高一下学期春季联赛数学试卷（含解析）

安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高一下学期春季联赛数学试题 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（ ） A．或 B． C．或 D． 3．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”，如图所示，作“大斜”上的高，则，现已知中，“小斜”，“中斜”，“大斜”，则“高”=（ ） A． B． C． D． 4．设与是两个向量，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 6．定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．设向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（ ） A．4 B．2 C．1 D．0 二、多选题 9．以下运算中正确的有（ ） A． B． C． D． 10．下面结论正确的有（ ） A．若，为锐角三角形的两内角，则有 B． C．， D．， 11．若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（ ） A．函数的单调递增区间是， B．直线是函数图象的一条对称轴 C．若当时，，则 D．若在上恰有3个零点，则 三、填空题 12．已知实数x满足，则 . 13．在边长为2的正中，动点P在以C为圆心且与AB边相切的圆上，满足.则的取值范围是 . 14．在四面体ABCD中，，面BCD，底面三角形BCD为直角三角形，.若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为 . 15．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为 . 四、解答题 16．如图所示，在单位圆中，，已知角的终边与单位圆交于点，作，垂足为点M，作交角的终边于点T. (1)请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式（仅用含的式子表示）； (2)请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明 17．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：， (1)求b和角B； (2)求的取值范围. 18．如图，在矩形中，，，，，直线与垂直，垂足为点. (1)求的值； (2)若，将用基底线性表示，并求出的最大值. 19．如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图. (1)求四面体外接球的体积； (2)求证：平面平面； (3)若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由. 20．手机在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用手机会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下： (1)请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替）； (2)请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率； (3)现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于 ... ...