第二课时 正弦定理、余弦定理的应用 课标要求 1.会用正弦定理、余弦定理解决一些三角形中的综合问题.2.理解三角形面积公式及其应用. 【引入】 上一节课我们学习了正弦定理，知道了应用正弦定理可以解决的两类解三角形问题，并对已知两边及其中一边的对角解三角形时解的个数作了讨论.这节课我们将进一步学习正弦定理，明确其比值的几何意义，实现边角互化的灵活性. 一、扩充的正弦定理 探究1 在△ABC中，＝＝，那么这个比值的几何意义是什么？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.扩充的正弦定理：设△ABC的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为R，则＝＝＝_____，这个结果称为扩充的正弦定理. 该式表明三角形各边与它所对角的正弦的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的_____. 2.正弦定理的变形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝ ＝. 例1 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化. (1)当出现边角混合时，常使用正弦定理； (2)当出现三边的平方时，常用余弦定理. 训练1 如图，已知⊙O的半径为R，△ABC为其内接等边三角形，求△ABC的边长及△OBC的外接圆半径. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 例2 (链接教材P48例7)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC的形状. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 训练2 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b＝2asin B，cos A＝cos C，则△ABC的形状是( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 三、三角形的面积公式 探究2 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝_____＝_____＝_____.即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半. 例3 在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos ∠CAD＝，且AD＝BD，求△ABC的面积. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用. 训练3 如图所示平面四边形ABCD中，已知B＋D＝180°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，求四边形ABCD的面积. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.在△ABC中，已知∠A＝60°，BC＝4，则△ABC外接圆的直径为( ) A.8 B. C.4 D. 2.在△ABC中，若a＝2bsin A，则B等于( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或150° 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为( ) A.2 B. C. D. 4.在△ABC中，lg(sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg(sin C－sin A)，则此三角形的形状是_____. 第二课时 正弦定理、余弦定理的应用 探究1 提示 观察 下图，无论怎么移动B′，都会有∠B′＝∠B， 所以在△AB′C中， ＝＝c， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径). 知识梳理 1.2R ... ...
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