2.2.1 等差数列的前n项和 同步练习 (原卷版+解析版)

2．2.1　等差数列的前n项和 一、单项选择题 1．已知{an}是公差为4的等差数列，前n项和为Sn.若S5＝15，则a10的值为(　D　) A．11 B．20 C．29 D．31 解析：∵{an}是公差为4的等差数列，Sn是其前n项和，S5＝15，∴5a1＋×4＝15，解得a1＝－5，∴a10＝a1＋9d＝(－5)＋9×4＝31.故选D. 2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　C　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：设{an}的公差为d，由得解得 3．(2024·浙江嘉兴高二期末)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a6＋a3－a5＝3，则S7＝(　D　) A．42 B．3 C．7 D．21 解析：由等差数列的性质可得a6＋a3－a5＝a4＋a5－a5＝a4＝3， 故S7＝＝＝7×3＝21. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a4＋a7＝22，则S19＝(　A　) A．380 B．200 C．190 D．100 解析：设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋9d＝4＋9d＝22，d＝2，S19＝19×2＋×2＝380.故选A. 5．利用课本中推导等差数列前n项和的方法解决下列问题．已知数列{an}满足an＝(n，m∈N*)，则a1＋a2＋…＋am＋20＝(　B　) A．＋5 B．＋5 C．m＋5 D．2m＋5 解析：依题意，记S＝a1＋a2＋…＋am＋20，则S＝＋＋…＋.又S＝＋…＋＋，两式相加可得2S＝＋…＋＋＝，则S＝＝＋5. 6．王老师把110本作业本全部奖励给5名学生，使每名学生所得作业本本数成等差数列，且较多的三份之和与较少的两份之和的比为9∶2，则最少一份的作业本本数为(　A　) A．6 B．10 C．12 D．14 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d>0，由条件可知，S5＝5a1＋d＝110 a1＋2d＝22①，2(a3＋a4＋a5)＝9(a1＋a2) 3d＝4a1②，由①②解得a1＝6，d＝8，所以最少一份的作业本本数为6.故选A. 二、多项选择题 7．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝4，S3＝－6，则(　AC　) A．a1＝－4 B．a3<0 C．S5＝0 D．S2S8，则下列说法中正确的是(　AD　) A．在数列{an}中，a1最大 B．在数列{an}中，a3或a4最大 C．S3＝S10 D．当n≥8时，an<0 解析：由题意知S7－S6＝a7>0，S8－S7＝a8<0，所以等差数列{an}的公差d＝a8－a7<0，所以{an}是递减数列，即a1最大，故A正确，B错误；因为S10－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝7a7>0，所以S3≠S10，故C错误；当n≥8时，an≤a8<0，即an<0，故D正确． 三、填空题 9．在等差数列{an}中，已知a10＝10，则S19＝190． 解析：S19＝＝＝19a10＝19×10＝190. 10．在等差数列{an}中，已知a1＝3，d＝－1，Sn＝－4，则n＝8． 解析：根据题意，Sn＝na1＋＝3n＋×(－1)＝－n2＋n＝－4，整理，得n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍去). 11．跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小刘最近给自己制定了一个280千米的跑步健身计划，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要32天． 解析：依题意可得，小刘从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米． 设他经过n天后完成跑步健身计划， 则n×1＋×0.5≥280， 整理得n2＋3n－1 120≥0， 又n∈N＋，故解得n≥32. 故至少需要32天． 四、解答题 12．在等差数列{an}中． (1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn； (2)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 解：(1)d＝＝＝＝7， 解得n＝128. 所以Sn＝＝＝70 336. (2)由 得 解方程组得或 13．在等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且a2a3＝45，a1＋a4＝14. (1)求Sn； (2)若bn＝，求数列{bn} ... ...