3．2.2 等比数列的前n项和的性质 一、单项选择题 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( C ) A． B．－ C． D．－ 解析：∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝. 2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝( C ) A．50 B．60 C．70 D．80 解析：因为S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，而S10＝10，S20＝30，所以(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(30－10)2＝10×(S30－30)，所以S30＝70. 3．已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项的和S100＝90，则a2＋a4＋…＋a100＝( D ) A．15 B．30 C．45 D．60 解析：设S＝a1＋a3＋…＋a99，则a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)q＝2S， 又因为S100＝a1＋a2＋…＋a100＝90， 所以3S＝90，S＝30， 所以a2＋a4＋…＋a100＝2S＝60. 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( A ) A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 解析：在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4.故选A. 5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＝5，S4＝20，则＝( B ) A．9 B．10 C．12 D．17 解析：设等比数列{an}的公比为q.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a3＋a2＋a4＝a1＋a3＋q(a1＋a3)＝(1＋q)·(a1＋a3)＝5(1＋q)＝20，所以q＝3，则＝＝＝＝q2＋1＝10. 6．已知等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为( D ) A． B． C．1 D．2 解析：设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝， 因为项数为奇数时，＝q， 即2＋q＝，所以q＝.所以Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝2n－， 故当n＝1或n＝2时，Tn取最大值2. 二、多项选择题 7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列一定是等比数列的是( BD ) A．a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，… B．a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，… C．S2，S4－S2，S6－S4，… D．S3，S6－S3，S9－S6，… 解析：设数列{an}的公比为q，q≠0， 对于A，C，都有首项a1＋a2＝a1(1＋q)， 当q＝－1时，a1＋a2＝0，不满足等比数列，故A，C错误； 对于B，a1＋a3＝a1(1＋q2)≠0，且＝＝q2，同理＝q2，故数列a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…为等比数列，故B正确； 对于D，S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≠0，且＝q3，＝q3，故数列S3，S6－S3，S9－S6，…为等比数列，故D正确．故选BD. 8．下列关于数列{an}与其前n项和Sn的命题，表述正确的是( ABD ) A．若an＋1＝，a1＝－1，则a2 024＝ B．若Sn＋1＝2Sn，a1＝2，则an＝2n－1(n≥2，n∈N*) C．若{an}是等比数列，S2＝1，S4＝4，则S8＝64 D．若a1a2a3…an＝，则数列{an}单调递增 解析：因为an＋1＝，a1＝－1，所以a2＝，a3＝2，a4＝－1，…，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 024＝674×3＋2，所以a2 024＝a2＝，A正确； 因为Sn＋1＝2Sn，＝2，a1＝S1＝2，所以Sn＝2×2n－1＝2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，B正确； 因为{an}是等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…成等比数列， ＝＝＝3，则＝3 S6＝13 ＝3，所以S8＝40，C错误； 因为a1a2a3…an＝，当n≥2时，a1a2a3…an－1＝， 当n≥2时，an＝＝＝，a1＝，所以an＝1－且n∈N*，则数列{an}单调递增，D正确．故选ABD. 三、填空题 9．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－360，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋… ＋a2n)＝240，则公比q＝5． 解析：由题意知S奇＋S偶＝－360， S奇－S偶＝240，∴S奇＝－60，S偶＝－300， ∴q＝＝5. 10．设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项 ... ...
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