4.2 导数的乘法与除法法则 同步练习 (原卷版+解析版)

4．2　导数的乘法与除法法则 一、单项选择题 1．已知f(x)＝(x2＋1)cos x，则其导函数为(　C　) A．f′(x)＝(x2＋1)sin x B．f′(x)＝－(x2＋1)sin x C．f′(x)＝2x cos x－(x2＋1)sin x D．f′(x)＝2x cos x＋(x2＋1)sin x 解析：因为f(x)＝(x2＋1)cos x，所以f′(x)＝2x cos x－(x2＋1)sin x．故选C. 2．曲线f(x)＝x ln x在点(1，0)处的切线方程为(　C　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋1＝0 解析：∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，f′(1)＝1，根据导数的几何意义可知曲线在(1，0)处的切线的斜率k＝1，∴曲线f(x)＝x ln x在点(1，0)处的切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.故选C. 3．已知函数f(x)＝，则f(π)＋f′＝(　D　) A．－ B． C．－ D．－ 解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f(π)＋f′＝－＋＝－.故选D. 4．已知曲线f(x)＝(x＋a)ex在点(－1，f(－1))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，则实数a的值为(　D　) A．－2e B．2e C．－ D． 解析：由f(x)＝(x＋a)ex，得f′(x)＝ex＋(a＋x)ex＝(x＋a＋1)ex，则f′(－1)＝，因为曲线f(x)＝(x＋a)ex在点(－1，f(－1))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以＝，故a＝.故选D. 5．设曲线y＝在点(1，－2)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则＝(　B　) A． B．－ C．3 D．－3 解析：依题意得y′＝＝，当x＝1时，y′＝－3，因为曲线y＝在点(1，－2)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，所以(－3)·＝－1，＝－.故选B. 6．(2024·陕西宝鸡高二期末)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：令x＝1，则f(1)＋g(1)＝1.因为f(1)＝1，所以g(1)＝0.因为f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，所以f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2.故选B. 二、多项选择题 7．(2024·湖南长沙联考)定义在R上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝1，则y＝f(x)的图象可能为(　ACD　) A　　　　B　　　　C　　　D 解析：令g(x)＝，则g′(x)＝＝＝，所以g(x)＝－＋c，c为常数，所以f(x)＝xg(x)＝cx－1.选项A，C，D分别对应c＞0，c＜0，c＝0时函数y＝f(x)的图象．故选ACD. 8．已知f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－20)，下列结论正确的是(　AC　) A．f′(0)＝20! B．f′(1)＝19! C．f′(1)＝－19! D．f′(20)＝－20! 解析：∵f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－20)，∴f′(x)＝(x－1)(x－2)…(x－20)＋x(x－2)…(x－20)＋x(x－1)·(x－3)…(x－20)＋…＋x(x－1)…(x－19)， ∴f′(0)＝(－1)×(－2)×…×(－20)＝20！，故A正确；f′(1)＝1×(－1)×(－2)×…×(－19)＝－19！，故B错误，C正确；f′(20)＝20×19×…×1＝20！，故D错误．故选AC. 三、填空题 9．已知函数f(x)＝，则f′(3)＝． 解析：因为f′(x)＝′＝＝＝，所以f′(3)＝＝. 10．曲线f(x)＝ex·cos x＋1在x＝0处的切线方程为x－y＋2＝0． 解析：对f(x)求导可得f′(x)＝ex(cos x－sin x)，则曲线f(x)在x＝0处的切线的斜率为f′(0)＝1，又f(0)＝2，则切线方程为y－2＝x，即x－y＋2＝0. 11．若曲线f(x)＝2x＋x cos x＋1在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a的值为． 解析：由f(x)＝2x＋x cos x＋1，可得f′(x)＝2＋cos x－x sin x，f′＝，∴2＋0－×1＝，∴a＝，f＝π＋1，切线方程为x－＝(y－π－1)，≠1，∴a＝. 四、解答题 12．求下列函数的导数． (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (2)y＝； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝. 解：(1)由导数的乘法法则得 y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)· (3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. (2)根据题意把函数的解析式整理变形可得 y＝＝＝1－， ∴y′＝－＝. (3)根据求导法则可得 y′＝(3xex)′－(2x)′ ... ...