5 简单复合函数的求导法则 同步练习 (原卷版+解析版)

§5　简单复合函数的求导法则 一、单项选择题 1．若y＝loga(2x2－1)(a＞0，且a≠1)，则y′＝(　A　) A． B． C． D． 解析：∵y＝loga(2x2－1)，∴y′＝＝.故选A. 2．曲线y＝cos 在x＝处的切线的斜率为(　B　) A．2 B．－2 C． D．－ 解析：设y＝cos u，u＝2x＋， 则y′＝(cos u)′′＝－2sin ， 故k＝－2sin ＝－2. 3．已知一质点的运动方程为s＝ln (t2＋1)＋3t，其中位移s的单位为m，时间t的单位为s，则该质点在第1 s末的瞬时速度为(　C　) A．1 m/s B．2 m/s C．4 m/s D． m/s 解析：由题意得s′＝＋3，故该质点在第1 s末的瞬时速度为＋3＝4(m/s). 4．已知a∈R，函数f(x)＝aex－1－x ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为(　D　) A．－2 B．－1 C．2 D．1 解析：由题意可得f′(x)＝aex－1－ln x－1，切点坐标为(1，a)，则切线l的斜率k＝f′(1)＝a－1，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，故l在y轴上的截距为a＋(a－1)×(－1)＝1. 5．已知f(x)＝1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n，则f′(0)＝(　D　) A．n B. n－1 C． D． 解析：根据题意，f(x)＝1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n，则其导数f′(x)＝1＋2(1＋x)＋3(1＋x)2＋…＋n(1＋x)n－1，则f′(0)＝1＋2＋3＋…＋n＝.故选D. 6．已知函数f(x)＝xex－a，曲线f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝(　B　) A．－4 B. －2 C. 2 D. 4 解析：由题意得f′(x)＝(x＋1)ex－a，所以f′(a)＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f(x)＝xex－2，可得f(2)＝2×e2－2＝2，所以切点为(2，2).将(2，2)代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.故选B. 二、多项选择题 7．(2024·黑龙江双鸭山一中高二期末)已知曲线y＝f(x)＝2(x＋1)3＋1，则曲线过点P(0，3)的切线方程为(　BD　) A．6x＋y－3＝0 B．6x－y＋3＝0 C．5x－2y＋6＝0 D．3x－2y＋6＝0 解析：设切点坐标为(x0，2(x0＋1)3＋1)，因为f′(x)＝6(x＋1)2，所以切线斜率k＝f′(x0)＝6(x0＋1)2，切线方程为y－[2(x0＋1)3＋1]＝6(x0＋1)2(x－x0).切线过点P(0，3)，代入得3－[2(x0＋1)3＋1]＝6(x0＋1)2(－x0)，可化简为2x＋3x＝0，解得x0＝0或x0＝－，则曲线过点P(0，3)的切线方程为6x－y＋3＝0或3x－2y＋6＝0. 8．设函数f(x)＝cos (x＋φ)(0<φ<2π)，若y＝f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ的值可能为(　AC　) A． B. C. D. 解析：f′(x)＝－sin (x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos (x＋φ)－sin (x＋φ)＝2sin (x＋φ＋).若y＝f(x)＋f′(x)是奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin (φ＋)，因此φ＋＝kπ(k∈Z).又因为φ∈(0，2π)，所以φ＝或φ＝.故选AC. 三、填空题 9．已知函数f(x)＝ln (x2＋1)＋，则f′()＝． 解析：由f(x)＝ln (x2＋1)＋，得f′(x)＝＋，所以f′()＝＋＝. 10．设曲线f(x)＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝2． 解析：易知f′(x)＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a·＝－1，则a＝2. 11．若f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，则f′＝3． 解析：∵f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x， ∴f′(x)＝f′·3cos 3x－3sin 3x. 令x＝可得f′＝f′×3cos －3sin ＝f′－3×， 解得f′＝3. 四、解答题 12．求下列函数的导数． (1)y＝(x＋1)2ln x； (2)y＝； (3)y＝e－xcos 2x. 解：(1)y′＝[(x＋1)2]′·ln x＋(x＋1)2·(ln x)′＝2(x＋1)·ln x＋. (2)y′＝＝. (3)y′＝(e－x)′·cos 2x＋e－x·(cos 2x)′＝(－e－x)cos 2x＋e－x(－2sin 2x)＝－e－x(cos 2x＋2sin 2x). 13．曲线f(x)＝e2x·cos 3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程． 解：∵f′(x)＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x， ∴f′(0)＝2. ∴曲线f(x)＝e2x·cos 3x在点(0，1)处的切线方程为 ... ...