6.1.2　函数单调性的应用 同步练习 (原卷版+解析版)

6．1.2　函数单调性的应用 一、单项选择题 1．若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　) A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．a≤ 2．若函数f(x)＝－cos x＋ax在R上为增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 3．(2024·陕西西安高二期末)函数f(x)＝sin x＋2x在R上是(　　) A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 4．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间(1，4)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)2的解集为 (　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 6．(2024·重庆第二外国语学校高二期中)若函数f(x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，－8) C．(－∞，－8] D．[0，＋∞) 二、多项选择题 7．函数f(x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间的充分不必要条件可以是(　　) A．a∈(－∞，3) B．a∈(0，3) C．a∈(－∞，0)∪(0，3) D．a∈(－∞，0) 8．(2024·江苏南京高二开学考)若a，b为正实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．> B．ln a>ln b C．a ln a>b ln b D．a－b0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围为 ． 四、解答题 12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2(x∈R)的图象过点P(－1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y＝0垂直． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求实数m的取值范围． 13．若函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围． 14．(2024·河南南阳一中高二期中)已知函数f(x)＝cos x＋ex＋e－x－x2，则关于x的不等式f(2x－1)＜f(3＋x)的解集为 ． 15．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对于任意x1，x2∈[1，e]，且x10，所以f(x)是增函数．故选D. 4．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间(1，4)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　A　) A． B． C． D． 解析：函数f(x)＝ln x＋ax2－2的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a<0时，由2ax2＋1＝0，解得x＝(负根舍去)，所以在区间(0，)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减．依题意，函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间(1，4)内存在单调递减区间，所以<4，解得a<－，所以实数a的取值范围是(－∞，－).故选A. 5．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)