6．2.2 函数极值的综合问题 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 2．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则( ) A．0＜b＜1 B．b＜0 C．b＞0 D．b＜ 3．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取得极大值，则f(x)的极大值为( ) A．0 B．32 C．0或32 D．0或－32 4．若函数f(x)＝2ax－ln x在(1，3)上不单调，则实数a的取值范围为( ) A．(2，6) B．(－∞，2)∪(6，＋∞) C． D．∪ 5．若函数f(x)＝x＋与函数g(x)＝aex－x有相等的极小值，则实数a＝( ) A． B．e3 C．2 D． 6．(2024·陕西汉中高二期末)若a>0，b>0，且函数f(x)＝2x3－x2－bx＋2在x＝1处取得极值，则ab的最大值为( ) A．2 B．3 C．6 D．9 二、多项选择题 7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列结论正确的是( ) A．a＋b＝0 B．a＋b＝－7 C．f(x)一定有两个极值点 D．f(x)一定存在单调递减区间 8．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，若xf′(x)＋f(x)＝，f(1)＝，则下列结论错误的是( ) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．xf(x)在(0，＋∞)上单调递减 C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值 D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值 三、填空题 9．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为 ． 10．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是 ． 11．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x＝ ． 12．已知三次函数f(x)＝mx3＋nx2＋px＋2q的图象如图所示，则＝ ． 四、解答题 13．在①f(x)在x＝1处取得极小值2；②f(x)在x＝－1处取得极大值6；③f(x)的极大值为6，极小值为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)，且 ，求f(x)的单调区间． 14．设函数f(x)＝x(x－1)(x－a)，其中a>1. (1)求证：函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2； (2)对于(1)中的极值点x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)≤0成立，求a的取值范围． 15．已知实数a满足1
0，解得x＝±. 又因为为极小值点， 所以∈(0，1)，解得00，f(x)单调递增，当c时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)在x＝处取得极大值，∴＝2，c＝6，则f(x)的极大值为2×(2－6)2＝32.故选B. 4．若函数f(x)＝2ax－ln x在(1，3)上不单调，则实数a的取值范围为( C ) A．(2，6) B．(－∞，2)∪(6，＋∞) C． D．∪ 解析：由f(x)＝2ax－ln x，得f′(x)＝2a－＝. 因为f(x)在(1，3)上不单调，所以f(x)在(1，3)上有极值点． 当a＝0时，f′(x)＝－<0在(1，3)上恒成立，所以f(x)在(1，3)上单调递减，不满足题意；当a≠0时，令f′(x)＝0，得x＝， ... ... 