沪科版八下勾股定理应用之最短路径问题（原卷+解析版）

18.2 勾股定理的应用之最短路径问题 勾股定理应用之最短距离（蚂蚁爬行） 1. 画出立体图形的展开图 2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离 分类 思路 图示 正方体 1. 画出平面展开图 2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解 长方体 长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解 圆柱 B点应该在侧面展开图的中间线上 缠绕多圈 1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合 2.长方体：展开侧面，连接A、B两点即可 重点：通过立体图形平面展开图构建直角三角形，运用勾股定理计算最短爬行路径长度。 难点：正确还原不同几何体展开图的空间对应关系，精准确定圆柱体侧面展开后的斜边方向。 由外到内的蚂蚁爬行问题（结合轴对称几何对称；）： 基础探究：如图，一圆柱体的底面周长为,高AB为,是上底面的直径。一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点,试求出爬行的最短路程.（精确到） 自制一个圆柱，尝试从 点到点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？ （2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点到点的最短路程是什么？你画对了吗？ （3）蚂蚁从点出发，想吃到点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 牛刀小试：（2024八上·通江期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁B处的最短距离为（ ）cm（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 举一反三：如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　） A． B． C． D． 考点一：正方体 例1.（2024八上·吉安期中）如图，正方体的棱长为是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2024八上·青岛期中）棱长分别为，6的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（　　） A． B． C．2 D． 考点二：长方形 【指点迷津】：长方体的最短路径问题:一般需要走两个面，至于是前面和侧面，还是前面和上面（或底面）等。要具体情况具体讨论，不妨在草稿纸上验算下两种情况，比较大小后再确定最终答案。 例1.（2024八上·肃州期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A． B． C． D． 例2.（2025八上·兰州期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是（　　） A．15 B．25 C．35 D．45 变式1．（2024八上·揭阳期中）如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（　　）． A． B． C． D．10 考点三：圆柱体 例1.（2024八上·宝安期中）如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 变式1．（2024八上·苏州期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（　　） A． B． C． D． 例2.．（山东省枣庄市滕州市2024-2025学年上学期八 ... ...