第4章 培优点　二面角的常见求法（课件+学案，共2份）湘教版（2019）必修第二册

培优点　二面角的常见求法 类型一　定义法 利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角. 例1 如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 例2 二面角α－l－β的大小为60°，A，B分别在两个面内且A和B到棱的距离分别为2和4，且AB＝10，求AB与棱l所成角的正弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型二　三垂线法 如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角. 例3 如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB； (2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 例4 如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α－l－β. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型三　垂面法 二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角. 例5 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型四　射影面积法 若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝. 例6 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 培优点　二面角的常见求法 例1　解　取AB的中点D，连接VD，CD， ∵在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2， ∴△VAB为等边三角形， ∴VD⊥AB且VD＝， 同理CD⊥AB，CD＝， ∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角， 而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°， ∴二面角V－AB－C的大小为60°. 例2　解　如图，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足， 则AC＝2，BD＝4， AB＝10. 在β内过C作CE∥DB，且CE＝DB， 连接BE，AE， ∴四边形CEBD为平行四边形， ∴BE∥l， ∴∠ABE为AB与棱l所成的角， ∵BD∥CE，∴l⊥AC，l⊥CE， ∴∠ACE为α－l－β的平面角， ∴∠ACE＝60°，又AC＝2，BD＝4， ∴AE＝＝2. 又BE∥l，l⊥平面ACE， ∴BE⊥AE， ∴sin∠ABE＝＝＝. 故AB与棱l所成角的正弦值为. 例3　(1)证明　∵∠SAB＝∠SAC＝90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC， 又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC， ∴SA⊥平面ABC， 又BC 平面ABC，∴SA⊥BC， 又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB 平面SAB， ∴BC⊥平面SAB， 又BC 平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB. (2)解　取SB的中点D，连接AD，因为SA＝AB，所以AD⊥SB， 由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD 平面SAB， ∴AD⊥平面SBC. 作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE， 由三垂线定理知DE⊥SC， 则∠AED为二面角A－SC－B的平面角. 设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2，AD＝，AC＝2，SC＝4. 由题意得AE＝， 在Rt△ADE中，sin∠AED＝＝＝， ∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值为. 例4　解　如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE， ∴由三垂线定 ... ...