(
课件网) 类型一：几何模型迁移综合实践型 1．(2024·宁夏第25题10分)综合与实践 如图①，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交∠CAM的平分线于点E. 【发现结论】 结论1：∠AEB＝ _∠ACB； 结论2：当图①中∠ACB＝90°时， 如图②，延长BC交AE于点F，过点E作AF的垂线交BF于点G，交AC的延长线于点H.则AE与EG的数量关系是 ； AE＝EG 【应用结论】 (1)求证：AH＝GF； 证明：(1)在Rt△AFC中，∠EFG＋∠EAH＝90°， 在Rt△AEH中，∠AHE＋∠EAH＝90°， ∴∠EFG＝∠EHA， 又∵∠FEG＝∠AEH，EG＝EA， ∴△EFG≌△EHA(AAS)，∴AH＝GF. 第1课时———a＝b”型的线段问题 “ a＝b”型 (1)若a与b分别在不同的三角形中， 则直接证明对应所在三角形全等． (2)若a与b不共线但共顶点，则证明所在三角形是等腰三角形． (3)若a与b共线且共顶点，常用证明方法是作平行线，先构造一组三 角形全等得到一组对应边相等，再证明“8”字三角形全等(如图①)． 需要证明：BD＝DC.过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. 先构造一组三角形全等，得到对应边相等，即BE＝CF或ED＝DF， 再构造“8”字三角形△BED≌△CFD，得到BD＝DC. (4)若a与b垂直，常用证明方法是构造直角三角形，证明最大的三角形是等腰直角三角形，利用斜边的中点可得结论(如图②)． 需要证明：BA＝BC. 延长AB到点D，使得AB＝BD，连接AC，DC. 先利用旋转型或双垂直型模型证明△ACD是直角三角形， 再利用斜边上的中点得到BA＝BC. 在△ABC中，∠CAB＝45°，BD⊥AC交AC于点D，点F在AB边上，CF交BD于点E. (1)如图①，作FG⊥AC于点G，若E是CF的中点，∠CFB＝75°，DE＝1，补全图形，求AB的长； (2)如图②，取BD的中点G，连接FG，若E是CF的中点，F是AB的中点，补全图形，求证：CF＝CB. 【方法总结】证明两条线段相等，除了构造三角形全等，还可以证明它是等腰三角形或者利用等腰三角形三线合一的方法来证明． 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°. 【发现结论】 (1)当BD平分∠ABC交AC于点D，F为BC上一点，连接AF交BD于点E. 结论1：若AB＝BF，则∠BEF＝ 5 ； 结论2：如图①，若AF⊥BD，过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，则AD与CF的数量关系是 5 ； 90° AD＝CF ① 【应用结论】 (2)如图②，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．延长BA，CE相交于点F，试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由； 解：(2)BD＝2CE. 理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴△BCE≌△BFE(ASA)，∴CE＝EF， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD， ∴∠ACF＋∠F＝90°，∠ABD＋∠F＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF，∴△ABD≌△ACF(ASA)， ∴BD＝CF，∵CF＝CE＋EF＝2CE，∴BD＝2CE. ② 2．【模型启迪】 (1)如图①，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H.使DH＝AD，连接CH.由∠ADB＝∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为 ，位置关系为 ； AB＝CH AB∥CH 【模型探索】 (2)如图②，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于点Q，交AB边于点K，作BH∥CQ，交QD的延长线于点H，试判断BK与CQ的数量关系，并说明理由； (2)解：BK＝CQ，理由：由题意得∠H＝∠Q， ∵DQ∥AP，∴∠Q＝∠CAP，∠BKH＝∠BAP， ∴∠H＝∠CAP，∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP， ∴∠H＝∠BKH，∴BK＝BH，∵D为BC边的中点， ∴BD＝CD，∵∠BDH＝∠CDQ，∴△BDH≌△CDQ(AAS)， ∴BH＝CQ，∴BK＝CQ. (3)如图③，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AC边上一点，过点E作EG⊥AD于点G，连接BE交AD于点F，且BF＝AC.作BR∥AC，交AD的延长线于点R，补全图形，求证：AG＝GF. (3)证明：由题意得∠R＝∠CAD， ∵D为BC的中点，∴BD＝CD， ∵∠RDB＝∠AD ... ...
