2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中几何综合问题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中几何综合问题 1．如图，已知二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣3m）与x轴交于点A，点B（点B在点A的右边），交y轴于点C，其中m＞0． （1）直接写出点B，点C的坐标，及抛物线的对称轴．（用m的代数式表示） （2）过OB的中点M做x轴垂线交抛物线于点D，交BC于点N，若，求m的值． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由． 3．如图，拋物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）求的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标． （3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP＝S△ACD，求点P的坐标； （3）在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标． 6．如图1，已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）写出A、B、C三点的坐标． （2）若点P为△OBC内一点，求OP+BP+CP的最小值． （3）如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D（4，0），直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长． 7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积； （3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点A的坐标为（﹣4，0），AO＝4BO． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，已知该抛物线的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）连接AC、BC，求∠ACO的正切值； （3）已知点P是抛物线上的一点，连接BP，当∠PBC＝∠ACO时，求点P的坐标． 10．如图，二次函数y＝a（x2﹣4mx﹣12m2）（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣6），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE． （1）用 ... ...