2025年中考数学几何解题方法复习-- 第6节 切线的计算与证明（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第6节 切线的计算与证明 一、知识梳理 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 【例】如图6-1所示，点 C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点 C 的切线垂直,垂足为点 D,AD 交⊙O 于点 E. (1)求证:AC平分∠DAB; (2)若AD=4,AC=5,求⊙O的半径; (3)若AE=5,AB=13,求AC的长. 证明:(1)如图6-2所示,连接OC. ∵AO=CO, ∴ ∠ACO=∠CAO. ∵CD与⊙O 相切于点C, ∴CO⊥CD. 又∵AD⊥CD, ∴AD∥CO. ∴ ∠DAC=∠ACO. ∴ ∠DAC=∠CAO. ∴AC平分∠DAB. (2)如图6-3所示,过点O 作OF⊥AC 于点 F. ∵AC=5, ∵∠CAO=∠DAC,∠AFO=∠ADC=90°, ∴△AFO∽△ADC. 即 ∴AO=3.125,即⊙O 的半径为3.125. (3)如图6-4所示,连接BE,OC,相交于点G. ∵AB 是⊙O的直径, ∴BE⊥AD. ∵DC是⊙O的切线, ∴DC⊥CO. ∴四边形ECGD 是矩形. ∴DE=CG,DC=EG,OC⊥BE. ∴DC=EG=6. ∴AD=AE+DE=9. 二、分层练习 1. 如图6-5所示,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O 交AC于点D,过点D作DF⊥BC,交AB 的延长线于点 E,垂足为点 F. 求证:直线DE 是⊙O的切线. 2.如图6-6所示，点O为正方形ABCD对角线上的一点，以点O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M,分别交AB,AD 于点E,F. 求证:CD与⊙O相切. 3.如图6-7所示,AB为⊙O的直径,点 C为⊙O上的一点,AD 与过点 C的直线互相垂直，垂足为点D，AC平分. 求证：DC为⊙O的切线. 4. 如图6-8所示,在 中，点O在斜边AB上，以点O 为圆心，OB 为半径作圆,分别交BC,AB 于点 D,E,连接AD. 若 ,求证:AD是⊙O的切线. 5. 如图6-9 所示,⊙O 内切于 ,切点分别为点 D,E,F.已知. ,连接OE,OF,DE,DF,则∠EDF 的度数为 . 6. 如图6-10所示,PA与⊙O 相切于点A,PO 交⊙O 于点 B. 若 则⊙O的半径为( ). C. 2 D. 5 7.如图6-11所示，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于点A(0,2),B(0,8),则圆心P的坐标为( ). A.(5,3) B.(5,4) C.(3,5) D.(4,5) 8.如图6-12所示，两个同心圆，大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm.若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB 的取值范围为 . 9. 如图6-13 所示,在 中,AB=AC,以AB为直径的⊙O 交BC于点 D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC于点 F,交AB的延长线于点 G. (1)求证:DF 是⊙O 的切线; (2)已知 求AE 和⊙O的半径. 10. 如图6-14 所示,在矩形ABCD 中, ,⊙O 经过点A,与AD相交于点 E,与AB相交于点 F,与BC相切于点 H,ED=2. (1)求证:⊙O 与CD 相切; (2)连接EF并延长，交CB的延长线于点 M，求MB的长. 第6节 切线的计算与证明 1. 证明:连接OD,如图42所示. ∵BA=BC, ∴∠A=∠C. ∵OA=OD, ∴∠A=∠ODA. ∴∠ODA=∠C. ∴OD∥BC. ∵DF⊥BC, ∴DE⊥OD. ∴直线DE是⊙O 的切线. 2. 证明:如图43所示,连接OM,过点O 作ON⊥CD,垂足为点 N. ∵⊙O与BC相切于点 M, ∴OM⊥BC. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC平分∠BCD. ∴OM=ON. ∴ CD与⊙O 相切. 3. 证明:如图45所示,连接OC. ∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠BAC. ∵OA=OC, ∴∠BAC=∠ACO. ∴ ∠DAC=∠ACO. ∵AD⊥DC, ∴OC⊥DC. ∴DC为⊙O 的切线. 4. 证明:连接OD,∠1、∠2、∠3如图46所示. ∵OB=OD, ∴∠3=∠B. ∵∠B=∠1, ∴∠1=∠3. ∵在 Rt△ACD中,∠1+∠2=90°, ∴∠2+∠3=90°. ∴OD⊥AD,则AD为⊙O 的切线. 5. 解:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=50°,∠C=60°, ∴∠A=70°. ∵⊙O 内切于△ABC,切点分别为点 D,E,F, ∴∠OEA=∠OFA=90°. . 6. 解:如图47所示,连接OA,设OA=x. ∵PA与⊙O 相切于点A, ∴∠OAP=90°. ∴在 Rt△OAP中, ∵ PA=6,BP=4, 解得 故选B. 7. 解:如图48所示,过点P作PC⊥AB于点C,过点P作PD⊥x轴于点D,连接PB. ∵点A(0,2),B(0,8), ∴AB=8-2=6. ∵PC⊥AB, ∴AC=BC=3. ∴OC=8-3=5. ∵⊙P 与x轴相切, ∴PD=PB=OC=5, 在Rt△PBC中，由勾股 ... ...