2025年中考数学几何解题方法复习-- 第 7 节 切线长定理（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第 7 节 切线长定理 一、知识梳理 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图7-1所示，过⊙O外一点 P 可引两条切线 PA，PB,则PA=PB,PO平分∠APB. 【例1】如图 7-2所示，若△ABC 的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆⊙O 与AB,BC,AC 相切于点 D,E,F,则AF 的长为( ). A. 5 B. 10 C. 7.5 D.4 解:设AF=x. ∵根据切线长定理得,AD=AF=x, BE=BD=9-x,CE=CF=6-x, ∴则有9-x+6-x=5,解得x=5,即AF的长为5. 故选A. 二、分层练习 万丈高楼平地起 1. 如图7-3所示,PA,PB为⊙O 的切线,切点分别为点A,B,PO交AB 于点 C,PO的延长线交⊙O 于点 D，下列结论不一定成立的是( ). A. PA=PB B.∠BPD=∠APD C. AB⊥PD D. AB平分PD 2. 如图7-4所示,直线AB,BC,CD分别与⊙O 相切于点E,F,G,且 若OB=6cm,OC=8cm,则BE+CG的长为 . 3. 如图7-5所示,点P 为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于点A,B,CD切⊙O于点E 且分别交PA,PB 于点 C,D. 若PA=4,则△PCD的周长为( ). A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 4.为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图7-6所示放置在桌面上，并量出AB=6cm，则这张光盘的直径是 . 5. 如图7-7所示,在. 中， 点A在MB上，以AB为直径作⊙O,与MC相切于点 D,则CD的长为( ). C. 2 D. 3 6. 如图7-8所示,在矩形ABCD中, ，以AB 为直径在矩形内作半圆,DE与⊙O 相切于点 E,则tan∠CDF 的值为 . 7. 如图7-9所示,PA,PB是⊙O的切线,CD 与⊙O 相切于点 E, 的周长为12, 求： (1)PA的长; (2)∠COD 的度数. 8. 如图7-10所示,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为点D,E,F. 若 BC=9,AC=7,则AD= . 9. 如图7-11所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则它的内切圆⊙O的半径是( ) A. 1 B. 2 C.2.5 D. 5 10. 如图7-12所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O 相切于点E，F，G，过点D作⊙O 的切线交BC于点M，切点为点N，则DM的长为 . 11. 如图7-13 所示,在四边形ABCD 中, ，以AB为直径的⊙O 与 CD 相切于点 E,点 F 为弧 BE上一动点,过点 F 的直线MN为⊙O 的切线,MN 交 BC 于点 M,交 CD 于点 N,则 的周长为( ). A. 9 B. 10 第7 节 切线长定理 1. 解:∵ PA,PB为⊙O 的切线, ∴PA=PB,∠BPD=∠APD,选项A、B成立. ∴AB⊥PD,选项C成立. ∵只有当AD∥PB,BD∥PA时,AB平分PD, ∴选项 D 不一定成立. 故选 D. 2. 解:∵AB∥CD, ∴ ∠ABC+∠BCD=180°. ∵直线AB,BC,CD分别与⊙O 相切于点E,F,G, ∴∠BOC=90°. ∵在 Rt△BOC中, ∴ BE+CG=10(cm). 3. 解:∵ PA,PB分别切⊙O于点A,B, ∴PB=PA=4. ∵CD切⊙O 于点 E,且分别交PA,PB 于点 C,D, ∴CA=CE,DB=DE. ∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CA+DB=PA+PB=8. 故选 C. 4.解：设光盘的圆心为O，光盘与三角尺的交点为C，三角尺与直尺的交点为A，D,连接OC,OB,OA,如图53所示. ∵AC,AB分别为⊙O 的切线, ∴AO为∠CAB 的角平分线,OC⊥AC,OB⊥AB. ∵∠CAD=60°, ∵在 Rt△AOB中,AB=6cm, 即 解得 ∴光盘的直径为 5. 解:∵在 Rt△BCM中, ∵AB为⊙O的直径,且AB⊥BC, ∴BC为⊙O的切线. ∵CD也为⊙O的切线, ∴CD=BC=2. 故选C. 6. 解:∵四边形ABCD 为矩形, ∴∠A=∠B=∠C=90°,CD=AB=4,BC=AD=3. ∵AB为⊙O的直径, ∴AD,BC与半圆相切. ∵DE与⊙O 相切于点 E, ∴DE=DA=3,EF=BF. 设CF=x,则EF=BF=3-x,DF=DE+EF=6-x. ∵在 Rt△DCF中, 即 解得 7. 解:(1)∵PA,PB是⊙O 的切线,CD与⊙O 相切于点 E, ∴CA=CE,DE=DB,PA=PB. ∴△PCD的周长=PD+CD+PC=PD+BD+CA+PC=PB+PA=2PA=12,即PA=6. (2)∵∠P=60°, ∴∠PCE+∠PDE=120°. ∵ PA,PB是⊙O 的切线,CD与⊙O 相切于点 E, 8. 解:∵⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为点 D,E,F, ∴AD=AE,BD=BF,CE=CF. 设AD=AE=x,BD=BF=y,CE=CF=z, 则 ... ...