2025年中考数学几何解题方法复习-- 第8节 圆幂定理（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第8节 圆幂定理 一、知识梳理 相交弦定理：如图8-1所示，圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等,即PA·PB=PC·PD. 切割线定理：如图8-2所示，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即 割线定理：如图8-3所示，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，即PA·PB=PD·PC. 【例1】如图8-4 所示,AB 是⊙O 的弦,点 P 在 AB 上,AB=10cm,AP=4cm,OP=5cm,则⊙O的半径为( ). A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：如图8-5所示，设⊙O 的半径为r. 由相交弦定理得AP·PB=(r+OP)(r-OP), 即 解得r=7. 故选 C. 【例2】如图8-6所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以CD为直径的⊙O与AB相切于点 E，则⊙O的半径为( ). A. 2 B.2.5 C. 3 D. 4 解:∵AC,AE为⊙O的切线, ∴AE=AC=6. ∵BC=8, ∴根据勾股定理得AB=10. ∴BE=AB-AE=4. ∵根据切割线定理得 即 解得BD=2, ∴CD=BC-BD=6. ∴ ⊙O 的半径为3. 故选 C. 【例3】如图8-7 所示,⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于点A,B,PA=14cm,AB=10cm,PO=20cm,则⊙O的半径为( ). A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm 解：设⊙O的半径为x. 根据割线定理得PA·PB=(PO-r)(PO+r),即 14×(14+10)=(20-x)(20+x),解得x=8.故选 A. 二、分层练习 1. 如图8-8所示,⊙O的弦AB,CD相交于点 P. 若AP=6,BP=8,CP=4,则CD的长为( ). A. 16 B. 24 C. 12 D.不能确定 2.如图8-9所示，点 P 是直径AB上的一点，且 ,CD 为经过点 P的弦,则 PC 与 PD 的长可能为( ). A. PC=1,PD=12 B. PC=3,PD=4 C. PC=3,PD=5 D. PC=8,PD=1.5 3. 如图8-10所示,⊙O 的弦AB,CD 相交于点 F, 若 1:4,则CF的长为( ). A. B. 2 C. 3 4. 如图8-11 所示,弦BC经过⊙O 的半径 OA的中点 P,且. ,则⊙O的直径为( ). A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5.如图8-12所示,点P 为弦AB 上的一点,连接OP,过点 P 作. PC交⊙O于点 C,且⊙O的半径为3. 若AP=4,PB=1,则OP的长为( ). A. 2 6.如图8-13所示，两圆相交于点 C，D，直线AB与两圆均相切，切点为点A，B，CD的延长线交AB 于点 M. 若CD=9,MD=3,则AB的长为( ). A. 18 B. 12 C. 13.5 7. 如图8-14所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径作圆交斜边于点 P，则BP的长为( ). A. 6.4 B. 3.2 C. 3.6 D. 8 8.如图8-15 所示，PA与⊙O 相切于点A，PC经过⊙O 的圆心且与该圆相交于点B,C. 若PA=4,PB=2,则sin∠P= . 9. 如图8-16所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以点O 为圆心,OA为半径作⊙O与BC相切于点D,分别交AC,AB于点E,F.若CD=2CE=4,则⊙O 的直径为( ). A. 10 C. 5 D. 12 10. 如图8-17所示,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A,B,C,D. 已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长为( ). A. 3 B. 7.5 C. 5 D. 5.5 11. 如图8-18所示,AB是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点 E,点 P 是BA 延长线上的一点,连接PC交⊙O 于点 F. 若PF=7,FC=13,PA:AE:EB=2:4:1,则CD的长为 . 12. 如图8-19所示,点P是⊙O 外一点,PAB为⊙O的一条割线,且PA=AB,PO交⊙O 于点 C. 若OC=3,OP=5,则AB的长为( ). 13. 如图8-20 所示,AB 为圆的直径 . 若 AB=AC=5,BD=4,则 的值为( ). A. 第8节 圆幂定理 1. 解:∵AP·BP=CP·DP,AP=6,BP=8,CP=4, ∴CD=CP+DP=12+4=16. 故选 A. 2. 解:∵PA=2,PB=6, ∴AB=2+6=8,即⊙O 的直径为8. ∵CD是⊙O 的弦, ∴CD≤AB. A选项中,CD=PC+PD=13,故错误. B选项中,符合CD≤AB,且PD·PC=PA·PB,故正确. C选项中,PA·PB≠PC·PD,故错误. D 选项中,CD=PD+PC=9.5>AB,故错误. 故选 B. 3. 解:∵CF:DF=1:4, ∴DF=4CF. ∵AB=10,AF=2, ∴BF=AB-AF=10-2=8. ∴由相交弦定理得AF·BF=CF·DF,即2×8=CF·4CF,解得CF=2. 故选 B. 4. 解:如图56所示,延长AO交⊙O于点D,设⊙O的半径是x. 根据相交弦定理 ... ...