2025年中考数学几何解题方法复习-- 第 10节 圆中的计算(2)（含解析）

第 10节 圆中的计算(2) 一、知识梳理 【例】如图10-1所示,△ABC是⊙O 的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°. 连接AO并延长,交⊙O 于点D,连接BD. 过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点 E. (1)求证:AD∥EC; (2)若AB=12,求线段EC的长. 证明:(1)如图10-2所示,连接OC. ∵CE与⊙O 相切于点 C, ∴ ∠OCE=90°. ∵∠ABC=45°, ∴∠AOC=90°. ∵∠AOC+∠OCE=180°, ∴AD∥EC. (2)如图10-3所示,过点A 作AF⊥EC交EC于点 F. ∵∠BAC=75°,∠ABC=45°, ∴∠ACB=60°. ∴ ∠D=∠ACB=60°. ∵AD是⊙O的直径, ∴∠ABD=90°. ∵AB=12, ∵AF⊥EC,∠OCE=90°,∠AOC=90°,OA=OC, ∴ 四边形 OAFC 是正方形. 二、分层练习 1. 如图10-4所示,AB为⊙O 的直径,点 C在⊙O 上,CO⊥AB 于点O,弦CD与AB 相交于点 F,在AB的延长线上取一点 E,使EF=ED,过点A作⊙O 的切线交 ED的延长线于点 G. (1)求证:GE 是⊙O 的切线; (2)若OF:OB=1:3,⊙O 的半径为3,求DE和AG的长. 2. 如图10-5所示,AB是⊙O的直径,AE 是⊙O 的切线,点C 为直线AE 延长线上的一点，连接OC，交⊙O于点D，连接BD并延长，交线段AC于点E. (1)求证:∠CDE=∠CAD; (2)若 求⊙O 的半径. 3.如图10-6所示,AB是⊙O的直径,点 C是⊙O 上异于点A,B的一点,连接AC,BC,点D在BA的延长线上,且 ，点E在DC的延长线上，且 (1)求证:DC是⊙O 的切线; (2)若 求 DA 的长. 4. 如图10-7所示,AB 是⊙O 的直径,PA,PC分别与⊙O 相切于点A,C,PC交AB的延长线于点 D， 的延长线于点 E. (1)求证: (2)若 求⊙O的半径. 5. 如图10-8所示,在平行四边形ABCD中,. ,以AD为直径作⊙O,⊙O恰好经过点 B. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)点E在⊙O上，ED与AD相交于点M，连接ED并延长，交BC的延长线于点 F.若 求线段ED的长. 6. 如图10-9所示,在等腰三角形ABC中,A ，以BC 为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为点 F,交CB的延长线于点E. (1)求证:直线 EF是⊙O 的切线; (2)连接BG,求 BG的长及cos∠E的值. 7. 如图10-10所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O 分别交AC,BC于点D，E，点 F在AC的延长线上，且 (1)求证:直线BF 是⊙O 的切线; (2)若 求AD的长. 8. 如图10-11所示,在 中，AD平分 ,交 BC 于点 D,以AD为直径作⊙O交AC于点F,点 B恰好落在⊙O上,过点D 作⊙O的切线DE,交AC于点E,连接DF. (1)求证: (2)若 求线段DE的长. 9. 如图10-12所示,⊙O是 的外接圆，点D 在 CB的延长线上，连接AD，作 于点E,交AD于点F,且. ,连接BF. (1)求证:AD 是⊙O 的切线; 求线段BF的长. 10. 如图10-13所示,锐角三角形ABC内接于⊙O,( 于点D,连接OC. (1)若∠ACB=60°,求证: (2)过点 C 作⊙O 的切线,交AB 的延长线于点 E.若 求OC的长. 第10节 圆中的计算(2) 1.(1)证明:连接OD,如图73所示. ∵OC=OD, ∴∠C=∠ODC. ∵OC⊥AB, ∴∠COF=90°. ∴∠C+∠CFO=90°. ∴∠ODC+∠CFO=90°. ∵EF=ED, ∴ ∠EFD=∠EDF. ∵∠CFO=∠EFD, ∴∠ODC+∠EDF=90°. ∴∠ODE=90°. ∵OD为⊙O的半径, ∴GE为⊙O的切线. (2)解:∵OF:OB=1:3,⊙O 的半径为3, ∴OF=1. 设DE=x,则EF=x,OE=1+x. ∵在Rt△ODE中,( 即 解得x=4, ∴DE=4,OE=5. ∵AG为⊙O的切线, ∴AG⊥AE. ∴∠GAE=90°. 又∵∠OED=∠GEA, ∴ Rt△EOD∽Rt△EGA. 即 解得AG=6. 2.(1)证明:∵AE是⊙O 的切线, (2)解:∵∠B=∠DAE, ∴∠OAE=90°. ∴∠OAD+∠CAD=90°. ∵AB是⊙O的直径, ∵∠CDE=∠CAD,∠C=∠C, ∴∠ODB+∠ODA=∠ADB=90°. ∴△CDE∽△CAD. ∴ ∠B+∠OAD=90°. ∵OB=OD, ∵CD=4, ∴∠B=∠ODB. ∵∠ODB=∠CDE, 解得 ∴ ∠CDE=∠CAD. 设⊙O 的半径为r. ∴在Rt△OAC中,即 解得r=14. 3.(1)证明:连接OC,如图74所示. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠OCD=∠DCA+∠ACO=90°. ∵OC是⊙O的半径, ∴DC是⊙O 的切线. (2)解:∵BE⊥DC, ∴∠BEC=90°. ∴∠BEC=∠O ... ...