【新教材】第09讲 相交线与平行线常见几何模型-北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（原卷 解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末） 第09讲 相交线与平行线常见几何模型 要点一、“猪蹄”模型（又名燕尾模型、M字模型） 如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） 要点二、“锯齿”模型 如图所示，AB//EF，则∠B+∠D=∠C+∠E. 重要结论：朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 证明：如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB. ∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF. ∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E， ∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证. 解题要点诠释： 锯齿模型的变换解题思路——— 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 要点三、“铅笔”模型 1．模型介绍 如下图，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 重要结论：∠B+∠E+∠D=360° 2．模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：过点E作EF//AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵AB//CD（已知） 又∵EF//AB（已作） ∴EF//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质） 又∵∠BED=∠1+∠2 ∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换） 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° 反之，如图，若∠B+∠D+∠BED=360°，直线AB与CD有什么位置关系？请证明. 解析：如图，过点作EF//AB得证EF//CD则 解题要点诠释： ①辅助线：过拐点作平行线 ②若，则 ③若，则 要点四、“异形铅笔”模型 如图，两直线AB,CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_____. 解析：如图，过作，过作，过作，过作得证 解题要点诠释： ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②【个拐点】 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 要点五、“骨折”模型 1．模型介绍 如图，已知AE//CF，求∠E、∠F、∠P之间的数量关系． 2．模型证明 已知：如图，AB//CD，求证：∠BED=∠D-∠B。 证明：过点E作EF//AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等） ∵AB//CD（已知） 又∵EF//AB（已作） ∴EF//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠BED=∠FED-∠FEB ∴∠BED=∠D-∠B（等量代换） 重要结论：∠B+∠E=∠D 要点六、“鸟嘴”模型 1．模型介绍 2．模型证明 证明一（添角）：过点P作PQ//AB， 则AB//CD//PQ ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3. 证明二：延长AB交PD于Q， 则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180° ∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3. 解题要点诠释： ①过拐点作平行线 ②借助平行线的性质找相等或互补的角 ③推导出角的数量关系 要点七、“潜望镜”模型 如下图： 本节内容包括三大部分：单选题、填空题、解答题，覆盖相交线与平行线章节常见的几何模型 【第一部分】单选题 1．（2021下·天津河西·七年级统考期中）直线，一块含角的直角三角板，如图放置，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．（2020下·江苏苏州·七年级校考期末）如图，直线AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠ACE＝20°，点F在AC的延长线上，则∠BAF的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．（2023下·广东深圳·七年级深 ... ...