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课件网) 普通高中数学 人教版（2019） 必修第二册 课型：新授课 第二章 直线与圆的方程 2.4.1圆的标准方程 身边的圆无处不在 水的波纹 雨后的彩虹 辽远的星系 原子的结构 自然界中存在着各种各样的圆。 问题一河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4m，圆拱高约为7.2m，现有一船，宽10米，水面以上高3米，这条船能否从桥下通过？ 如何写出这个圆拱所在的圆的方程呢 2、确定圆需要几个要素？ 圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形) 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形（轨迹、 集合）. 1、什么是圆？初中如何给圆定义的？ 师生共同探究 你还记得吗 探究一：如何在平面直角坐标中， 求圆心是 ,半径为 的圆的方程？ 建立平面直角坐标系，设点 为圆上任意一点； ，圆上所有点的集合P = { M | |MC| = r } M O x y r 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？ 圆的标准方程 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上． 问题 把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程. 特殊位置的圆方程 因为圆心是原点O(0, 0)，将a＝0，b＝0和半径 r 带入圆的标准方程： 问题 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 得： 整理得： 2.圆 的圆心 的坐标及半径 分别为（ ） 1.圆心为 ，半径长等于5的圆的方程为（ ） 随堂小练习 3.圆 的圆心的坐标及半径 分别 为 圆心，半径 例1：写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上。 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上； 把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上． 那这个点究竟是在圆外还是在圆内？ 探究二：点与圆的位置关系 O O 探究二：点与圆的位置关系 在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？ M O |OM|
r 点在圆内 点在圆上 点在圆外 几何法 O O M O M M 点与圆的位置关系: 代数法 （3） 点在圆外： 点在圆上： 点在圆内： （2） （1） 例2：△ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)， C(2, －8)，求它的外接圆的方程． 解：设所求圆的方程是 (1) 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是 待定系数法 所求圆的方程为 探究三：求圆的标准方程 A(5,1) E D O C(2,-8) B(7,-3) y x R 几何法 L1 L2 解法二: 例2：△ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程． 例3：已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标准方程． 圆心：两条直线的交点 半径：圆心到圆上一点 弦AB的垂直平分线 x y O A(1,1) B(2,-2) D C 即：x-3y-3=0 ∴圆心C(-3,-2) 例3：已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标准方程． 解法1: ∵A(1,1),B(2,-2) 圆经过A(1,1),B(2,-2) 解法2: 设圆C的方程为 ∵圆心在直线l:x-y+1=0上 例3：已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标准方程． 规律归纳： 求圆的标准方程一般有两种思路： （1） 待定系数法，这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法； （2） 几何法，由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准方程。 由圆的几何性质易得圆心 ... ... 
