6.3 特殊的平行四边形 同步练习（3课时，学生版+答案版）2024-2025学年数学青岛版八年级下册

矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 矩形在小学阶段我们叫做长方形． 矩形的性质 1．边：对边平行且相等． 2．角：矩形的四个角都是直角． 3．对角线：矩形的对角线相等且互相平分． 4．对称性：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，对边中点所在的直线是它的对称轴． 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，两条对角线把矩形分成四个等腰三角形． 直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形． 直角三角形斜边上的中线是常作辅助线之一． 矩形的判定 1．角：①有三个角是直角的四边形是矩形．②有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．对角线：对角线相等的平行四边形是矩形． 矩形的性质 典例1 [2024·宿迁期末]矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( D ) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 变式 [2024·甘肃]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( C ) 变式图 A．6 B．5 C．4 D．3 利用矩形的性质求线段的长度 典例2 [2024·鄂伦春自治旗期末]如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.若AC＝10，则PE＋PF＝( A ) 典例2图 A．4 B．5 C．8 D．10 连接OP，由矩形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝5，S△COD＝S矩形ABCD＝10，结合S△COD＝S△POC＋S△DOP＝OD·FP＋OC·PE＝×5×(PE＋PF)，计算即可得出答案． 变式 [2023·苏州]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( C ) 变式图 A．一直增大 B．不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 利用矩形的性质求角的度数 典例3 [2023·潍坊期末]如图，在矩形纸片ABCD中，把∠D沿直线AE折叠，使得点D落在BC边上的点F处．已知∠EAF与∠BAF的度数之比为2∶5，则∠DAF的度数是( C ) 典例3图 A．20° B．30° C．40° D．45° 根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，由折叠得∠DAE＝∠FAE，设∠EAF＝2x，则∠BAF＝5x，得到9x＝90°，求出x＝10°，即可求出∠DAF的度数． 变式 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，已知∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 变式图 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°， ∴BE＝AB，∠OAB＝∠BAE＋∠CAE＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴OB＝AB，∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝30°，OB＝BE， ∴∠BOE＝×(180°－30°)＝75°. 直角三角形的性质定理2 典例4 如图所示，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF中点． 求证：MN⊥EF. 典例4图 找到图中直角三角形和斜边上的中线，得到等腰三角形FME，即可解答． 证明：连接ME，MF. 典例4图 ∵BE，CF是高， ∴△BFC与△BEC为直角三角形， 又∵点M为BC的中点， ∴ME＝BC，MF＝BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)． ∴ME＝MF. 又∵N为EF中点， ∴MN⊥EF. 变式 如图，点E在 ABCD的边CD的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC且与BC的延长线相交于点F.求证：DF＝CE. 变式图 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB＝DE， ∴CD＝DE， ∵EF⊥BC， ∴DF＝CE. 矩形的判定 典例5 [2024·淮南期中]如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE交BC于点O，∠A＝∠BOD.求证：四边形BECD是矩形． 典例5图 先证明四边形BECD为平行四边形，再证明BC＝ED即可得到结论． 证明：在平行四边 ... ...