(课件网) 1.3线段的垂直平分线 (第1课时) 第一章 等腰三角形 学习目标 掌握线段垂直平分线的性质和判定定理 会运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题 1 2 知识引入 等腰三角形顶角平分线有哪些性质？ 由等腰三角形三线合一的性质可得顶角平分线垂直底边，并且平分底边． 如图，在△ABC中，AB＝AC ，∠BAC的平分线 AD 所在的直线即线段 BC 的垂直平分线 ． A B C ∟ D 知识引入 拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的关系. E F B (B′) 折痕 EB＝EB′ ， FB＝FB′ B B′ E F 我们曾经用上面折纸的办法得到：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论，并与同伴交流. 知识探究 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足是点 C，且 AC＝BC，P 是 MN 上的任意一点. 求证：PA ＝ PB. 如果点 P 与点 C 重合，那么结论显然成立. 证明：∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA＝∠PCB＝90 °. ∵ AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA ≌ △PCB（SAS）. ∴ PA＝PB(全等三角形的对应边相等). 知识探究 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段垂直平分线的性质定理 符号语言：∵点 P 在直线 MN 上， MN⊥AB 于点C， ∴ PA＝PB. AC ＝ BC， 注意 线段垂直平分线上的“点”是任意的一点，这个点到线段两个端点的距离相等是指它与已知线段的两个端点所连线段的长度相等. 知识探究 想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它. 逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理. 知识探究 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA＝PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 点 P 的位置可能在线段AB 上，也可能在线段 AB外，即 P 是否与 C 重合 证明：当点 P 在线段 AB 上时， ∵PA＝PB， ∴点 P 为线段 AB 的中点， 显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上； A B P 知识探究 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA＝PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：当点 P 在线段 AB 外时， B P A C ∵PA＝PB，PC＝PC， ∴Rt△PAC ≌ Rt△PBC(HL) ∴AC＝BC， 即 P 点在 AB 的垂直平分线上 法一：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC， 知识探究 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA＝PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：当点 P 在线段 AB 外时， B P A C 法二：过 P 点作∠APB 的平分线交 AB 于点 C， ∵AP＝BP，∠APC＝∠BPC，PC＝PC， ∴△APC ≌ △BPC（SAS）. ∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB. 又∵∠PCA＋∠PCB＝180° ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. 知识探究 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA＝PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：当点 P 在线段 AB 外时， B P A C 法三：取 AB 的中点 C，过点 P，C 作直线. ∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝BC， ∴△APC ≌ △BPC（SSS）. ∴∠PCA＝∠PCB 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即 PC⊥AB. ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. 还有其他的方法来证明吗？ 知识探究 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA＝PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：∵过点 P 作直线 MN⊥AB，垂足为点 C，则 PC 是 △PAB 的高. ∵ PA＝PB， ∴△PAB 是等腰三角形. ∴PC 是 △PAB 的中线(三线合一). ∴AC＝BC. ∴直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线. ∴点 ... ...
