(课件网) 1.3线段的垂直平分线 (第2课时) 第一章 等腰三角形 学习目标 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质 能够运用三角形三边的垂直平分线的性质解决实际问题 1 2 能够利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形 3 知识回顾 回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 经常用来证明两条线段相等 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 经常用来证明点在直线上或直线经过某一点 知识回顾 如何作已知线段的垂直平分线？ 已知：线段 AB，如图. 求作：线段 AB 的垂直平分线. 作法： 1.分别以点 A 和 B 为圆心，以大于线段 AB 长度的一半为半径作弧，两弧交于点 C 和 D. C D 2. 作直线 CD. 则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线. A B 典型例题 例2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. AD 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可. 思路可表示如下： B C A P l n m l 是AB的垂直平分线 m 是BC的垂直平分线 PA＝PB PB＝PC PA＝PC 点 P 在 AC 的垂直平分线上 典型例题 例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：点 P 在边 AC 的垂直平分线上，且 PA＝PB＝PC. 证明：∵点 P 在边 AB 的垂直平分线上， ∴PA＝PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB＝PC. ∴PA＝PB＝PC. ∴点 P 在边 AC 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上). 即边 AC 的垂直平分线经过点 P. 知识探究 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 三角形三条边的垂直平分线的性质 符号语言：∵直线 MN，EF，PQ 分别垂直平分线段 BC， AB，AC， ∴ 直线 MN，EF，PQ 相交于点 O， 且OA＝OB＝OC. A B C O M N P F E Q 这个点叫做三角形的外心 我们知道三角形的高因为三角形类别交点位置不一致，垂直平分线是否也这样呢，动手试一试？ 知识探究 AD 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现. ①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点 ②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处 ┐ ③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点 知识探究 议一议 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗 AD 能作出无数个， 所作出的三角形不都全等. 1 A D C B A a h D C B A a h 1 A ( ) D C B A a h 1 A 知识探究 议一议 (2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗 AD 这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧. 典型例题 例3 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形. 已知：如图，线段 a，h. 求作： △ABC，使 AB＝AC，且 BC＝a，高 AD＝ h. a h 作法： (1)作线段 BC＝a. (2)作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D. (3)在 l 上作线段 DA，使 DA＝h. (4)连接 AB，AC. △ABC 就是所求作的等腰三角形. A B C D l 知识探究 已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢. 做一做 小明的作法如图，你能明白他的作法吗？ P A B m l 先在直线 l 上截取 A、B 两点，且这两点到点 P 的距离相等； 接着分别以点 A、B 为圆心，大于线段 AB 的一半的长为半径画弧，交于两点； 最后连接得到的两个交点，得到直线 m 即为所求. 你是怎样做的？ AD 知识探究 如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂 ... ...
